Integralberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
−
===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion===
+
===Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten===
 
'''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
 
'''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
  
Zeile 18: Zeile 18:
 
|}
 
|}
  
−
:a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
+
:<small>a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.</small>
 +
::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
  
 
|width=5px|
 
|width=5px|
Zeile 37: Zeile 38:
  
 
::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
 
::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
−
 
−
::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
 
 
}}
 
}}
  
  
−
[[Facharbeit Neutert/Flächengleichheit|Hier geht's zur Aufgabe: Flächengleichheit zweier verschiedener Funktionen]],
+
[[Facharbeit Neutert/Flächengleichheit|Hier geht's zur Aufgabe: Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t<sub>0</sub>]],
  
 
[[Facharbeit Neutert|Hier geht's zurück zur Übersicht]]
 
[[Facharbeit Neutert|Hier geht's zurück zur Übersicht]]

Version vom 23. Januar 2010, 21:24 Uhr

Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten

Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion.


Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.
Hier siehst du ein Beispiel dazu.


Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der Integralrechnung.
Es muss gelten: F' (t) = f (t)
Die allgemeine Integrationsregel: \int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b}
a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
Merke: Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.

Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.
\int_{x}^{y} f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} + \frac{a^2*t^2}{2} + c
Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten
Die untere Grenze ist: 0
\int_{0}^{6} f (t)\,dt = \left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} + \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27
Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*109 Liter Wasser durch den Fluss. ( 27*106 m3 = 27*109 Liter)


Hier geht's zur Aufgabe: Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t0,

Hier geht's zurück zur Übersicht

Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=LK_Mathematik_Abitur_NRW_2007/Integralberechnung&oldid=27733“