Extremwerte: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 23. Januar 2010, 20:45 Uhr

Aufgabe: Extremwerte

Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. An den Extrempunkten besitzt die Funktion eine waagrechte Tangente, dass heißt, die Steigung ist Null.

Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
Die allgemeine Ableitungsregel ist: f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * xn-1


Tipp:
Zum nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst, findest du hier nochmal einen nützlichen Lernpfad.


Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f.
f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2


Zur Bestimmung der Koordinaten der möglichen Extremwerte:
  • Man setzt f '(t) = 0,
  • erhält eine quadratische Gleichung,
  • löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen,
  • und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E1 und E2.
Errechne nun die Koordinaten an denen es eine waagrechte Tangente gibt.
t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)
t_2 = \frac{2}{3}a \Rightarrow E_2 \left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right)

Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte liegen und die waagrechten Tangenten (rot eingezeichnet).



Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welche Art dieses Extrema ist, Maximum oder Minimum, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten
  • Man bestimmt die zweite Ableitung,
  • setzt die errechneten t - Werte ein
  • und überprüft, ob f ' ' (t)
  • < 0 \rightarrow Rechtskrümmung bzw Rechtskurve
\Rightarrow relatives Maximum
  • > 0 \rightarrow Linkskrümmung bzw Linkskurve
\Rightarrow relatives Minimum
Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Extremwert um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente.


Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte.
f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a
f ''(2a) = \frac{3}{2} * 2a - 2a = a
da a > 0 \rightarrow Rechtskrümmung \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right) ist Minimum


f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} * \frac{2}{3}a - 2a = - a
da a größer als Null definiert ist, gilt \rightarrow - (a) < 0 \rightarrow Linkskrümmung
\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right) ist Maximum
Lösung 2: h - Methode
Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" der waagrechten Tangente verhält.
Dazu nimmt man die erste Ableitung,
  • setzt \lim_{h\to0} f '(t_0 - h)
  • und \lim_{h\to0} f '( t_0 + h) ein.
Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von Gf "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom möglichen Extremwert.
Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.


\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0 und \lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0
\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0 und \lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0
Graphische Vorzustellung:
\Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right) ist Minimum,
  • da links von t = 2a der Graph fällt.
  • da rechts von t = 2a der Graph steigt.
\Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right) ist Maximum
  • da links von t = \frac{2}{3}a der Graph steigt.
  • da rechts von t = \frac{2}{3}a der Graph fällt.


Lösung 3: Vorzeichentabelle
Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als
f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right),
geschrieben werden. Hier sind die Werte t1 und t2 die errechneten t - Werte, bei welcher die erste Ableitung Null wird.
Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.
\Rightarrow f '(t) = \left( x - 2a \right) * \left( x - \frac{2}{3}a \right)

Vorzeichentabelle1.jpg

Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen Gf


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