Gliederung: Unterschied zwischen den Versionen
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− | Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion '''f<sub>a</sub>''' durch | + | Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion '''f<sub>a</sub>''' durch <math>y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}</math> mit <math>x\in R</math> gegeben. |
− | === a) === | + | === Teilaufgabe a) === |
:1.Untersuchen Sie den Graphen von '''f<sub>a</sub>''' auf: | :1.Untersuchen Sie den Graphen von '''f<sub>a</sub>''' auf: | ||
::*Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, | ::*Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, | ||
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:3.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion '''f<sub>2</sub>''' für '''1,6 <u><</u> x <u><</u>7!''' | :3.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion '''f<sub>2</sub>''' für '''1,6 <u><</u> x <u><</u>7!''' | ||
− | zu [[Teilaufgabe a)]] | + | zu [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe a|Teilaufgabe a)]] |
− | === b) === | + | === Teilaufgabe b) === |
:1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a)zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von '''f<sub>a</sub>''' an! | :1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a)zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von '''f<sub>a</sub>''' an! | ||
:2.Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von '''f<sub>a</sub>'''! | :2.Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von '''f<sub>a</sub>'''! | ||
:3.Die x-Achse und der Graph der Funktion '''f<sub>2</sub>''' begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt! | :3.Die x-Achse und der Graph der Funktion '''f<sub>2</sub>''' begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt! | ||
− | ::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty} | + | ::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math> |
zu [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe b|Teilaufgabe b)]] | zu [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe b|Teilaufgabe b)]] | ||
− | === c) === | + | === Teilaufgabe c) === |
:Im Punkt W<sub>a</sub>(a+2; f<sub>a</sub>(a+2)) werde die Tangente an den Graphen von f<sub>a</sub>gelegt | :Im Punkt W<sub>a</sub>(a+2; f<sub>a</sub>(a+2)) werde die Tangente an den Graphen von f<sub>a</sub>gelegt | ||
:1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt A(0;2012)? | :1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt A(0;2012)? | ||
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:2. Berechnen Sie alle Stellen x<sub>B</sub>, für die die Tangente die y-Achse im Punkt B(x<sub>B</sub>;f<sub>2</sub>(x<sub>B</sub>)) an den Graphen von f<sub>2</sub> durch den Koordinatenursprung verläuft! | :2. Berechnen Sie alle Stellen x<sub>B</sub>, für die die Tangente die y-Achse im Punkt B(x<sub>B</sub>;f<sub>2</sub>(x<sub>B</sub>)) an den Graphen von f<sub>2</sub> durch den Koordinatenursprung verläuft! | ||
− | zu [[Teilaufgabe c)]] | + | zu [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe c|Teilaufgabe c)]] |
− | === d) === | + | === Teilaufgabe d) === |
− | Für jeden Wert von a bilden die Punkte R<sub>a</sub>(a | + | Für jeden Wert von a bilden die Punkte '''R<sub>a</sub>''' (a / f<sub>a</sub>(a)), '''H<sub>a</sub>''' (a+1 / f<sub>a</sub>(a+1)) und '''W<sub>a</sub>''' (a+2 / f<sub>a</sub>(a+2)) ein Dreieck. |
:1.Zeigen Sie, dass alles diese Dreiecke zueinander kongruent sind! | :1.Zeigen Sie, dass alles diese Dreiecke zueinander kongruent sind! | ||
:2.Berechnen Sie deren Flächeeninhalt! | :2.Berechnen Sie deren Flächeeninhalt! | ||
− | zu [[Teilaufgabe d)]] | + | zu [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe d|Teilaufgabe d)]] |
− | === e) === | + | === Teilaufgabe e) === |
Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung (n<u>></u>1) der Funktion f<sub>a</sub> gilt: | Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung (n<u>></u>1) der Funktion f<sub>a</sub> gilt: | ||
− | : | + | : <math>y=f_a(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}</math> |
− | zu [[Teilaufgabe e)]] | + | zu [[Facharbeit Andre Etzel/Teilaufgabe e|Teilaufgabe e)]] |
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+ | --[[Benutzer:Andre Etzel|Andre Etzel]] 22:42, 20. Jan. 2010 (UTC) |
Aktuelle Version vom 20. Januar 2010, 23:43 Uhr
Für jede reelle Zahl a sei eine Funktion fa durch mit gegeben.
Inhaltsverzeichnis |
Teilaufgabe a)
- 1.Untersuchen Sie den Graphen von fa auf:
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
- lokale Extrempunkte und
- Wendepunkte!
- Bestimmen Sie gegebenenfalls deren Koordinaten!
- 2.Alle Extrempunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion h. Geben Sie eine Funktionsgleichung von h an!
- 3.Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f2 für 1,6 < x <7!
Teilaufgabe b)
- 1. Geben Sie aufgrund Ihrer Ergebnisse aus Teilaufgabe a)zwei Eigenschaften des Graphen einer Stammfunktion von fa an!
- 2.Bestimmen Sie durch partielle Integration eine Gleichung einer Stammfunktion von fa!
- 3.Die x-Achse und der Graph der Funktion f2 begrenzen im I. Quadranten eine nach rechts ins Unendliche reichende Fläche. Berechnen sie deren Inhalt!
- Hinweis:
Teilaufgabe c)
- Im Punkt Wa(a+2; fa(a+2)) werde die Tangente an den Graphen von fagelegt
- 1. Für welchen Wert von a schneidet diese Tangente die y-Achse im Punkt A(0;2012)?
- Nun sei a = 2.
- 2. Berechnen Sie alle Stellen xB, für die die Tangente die y-Achse im Punkt B(xB;f2(xB)) an den Graphen von f2 durch den Koordinatenursprung verläuft!
Teilaufgabe d)
Für jeden Wert von a bilden die Punkte Ra (a / fa(a)), Ha (a+1 / fa(a+1)) und Wa (a+2 / fa(a+2)) ein Dreieck.
- 1.Zeigen Sie, dass alles diese Dreiecke zueinander kongruent sind!
- 2.Berechnen Sie deren Flächeeninhalt!
Teilaufgabe e)
Beweisen Sie, dass für die n-te Ableitung (n>1) der Funktion fa gilt:
--Andre Etzel 22:42, 20. Jan. 2010 (UTC)