Symmetrie von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | Bei den Funktionen | + | Bei den Funktionen im oberen Applet handelt es sich um achsensymmetrische Funktionen, bei denen im unteren Applt um punktsymmetrische Funktionen. Betrachtet man die Exponenten der Funktionen, fällt auf, dass die <span style="color: blue">'''achsensymmetrischen Funktionen'''</span> nur <span style="color: blue">'''gerade Exponenten'''</span> enthalten. Deshalb werden sie gerade Funktionen genannt '''<span style="color: blue">(Zahlen ohne Variable x gelten als gerade)</span>'''. <br /> |
| − | Die <span style="color: blue">'''punktsymmetrischen Funktionen'''</span> enthalten nur <span style="color: blue">'''ungerade Exponenten'''</span> und heißen daher ungerade Funktionen. | + | Die <span style="color: blue">'''punktsymmetrischen Funktionen'''</span> enthalten nur <span style="color: blue">'''ungerade Exponenten'''</span> und heißen daher ungerade Funktionen. Wenn du dir also die Funktionen im oberen Applet anschaust, haben diese grundätzlich gerade Exponenten, egal wie du die Regler verschiebst. |
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Version vom 19. Januar 2010, 14:51 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Symmetrie von Funktionsgraphen
Achsensymmetrie
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=x2+2 abgebildet. Bei der Betrachtung des Graphen fällt auf, dass man bei einer Spiegelung an der y-Achse den jeweils anderen Teil des Graphen erhält. Dies wird als Achsensymmetrie zur y-Achse bezeichnet. Zum Beweis dieser Symmetrie nutzt man den Zusammenhang f(x)=f(-x). Wenn also das Einsetzen von f(x) und f(-x) den gleichen Funktionswert ergibt, handelt es sich um einen achsensymmetrischen Graphen. Setzt man beispielsweise in diesem Fall 1 und -1 in den Funktionsterm ein, so kommt beide Male das gleiche Ergebnis dabei heraus:
In der Regel wird dieser Beweis allerdings allgemein durchgeführt, indem man –x in den Funktionsterm einsetzt:
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Punktsymmetrie zum Ursprung
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Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=x3 dargestellt. Hier lässt sich nicht wie im vorigen Fall eine Symmetrie zu einer Achse feststellen. Stattdessen ist diese Funktion symmetrisch zum Ursprung und wird daher als Punktsymmetrie zum Ursprung bezeichnet. Hierbei gilt der Zusammenhang f(x)=-f(-x). Das bedeutet, dass die Funktionswerte von f(x) und f(-x) vom Betrag her gleich sein müssen, aber unterschiedliche Vorzeichen haben. Dies lässt sich leicht durch ein Beispiel beweisen:
Wie auch der Beweis der Achsensymmetrie wird dieser Beweis in der Regel allgemein geführt:
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Merke: Achsensymmetrie zur y-Achse: f(x)=-f(x) |
Ganzrationale Funktionen
Aufgabe:
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Unten siehst du 2 Applets mit Funkionsgraphen. Versuche, durch Verschieben der Regler Zusammenhänge zwischen der Veränderung der Exponenten und der Symmetrie der Graphen zu erkennen. Beachte dabei, wie die Regler eingestellt sind.
Beispielaufgaben Aufgabe 1:
Aufgabe 2:
Aufgabe 3:
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