Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen
(→2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration) |
(→3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten) |
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=== 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten === | === 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten === | ||
− | ::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty} | + | ::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math> |
− | Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, | + | Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren. |
<math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br /> | <math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br /> | ||
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<math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{2} ( 1 )]</math><br /> | <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{2} ( 1 )]</math><br /> | ||
<math> | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br /> | <math> | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br /> | ||
− | <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )] | + | <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )] |
− | + | ||
+ | = [e^{2}]</math><br /> | ||
'''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''. | '''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''. |
Aktuelle Version vom 5. Januar 2010, 20:27 Uhr
1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa
1.) Von verläuft der Graph Gfa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von verläuft der Graph Gfa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.
2.) Bei ist der Graph Gfa gleich Null ( Gfa = 0 )und das Steiguungsverhalten von GFa ändert für
und
das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph GFa an der Stell
einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration
Hilfe zur partiellen Integration
Definiere:
für Interessierte: Der Holzweg
3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten
- Hinweis:
- Hinweis:
Da die Nullstelle der Funktion fa bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f2 bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e2.