Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen

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1.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton fallend ist.<br />
 
1.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton fallend ist.<br />
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Von <math>a < x < \infty </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton steigend ist.<br />
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Von <math>a < x < \infty </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton steigend ist.<br />
  
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2.)Bei <math>x = a</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändertfür <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
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2.) Bei <math>x = a</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändert für <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
  
 
=== 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration ===
 
=== 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration ===
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration Hilfe zur partiellen Integration]
 
[http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration Hilfe zur partiellen Integration]
  
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<math> \int f (x)\,dx </math> = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br />
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<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math>
  
 
Definiere:
 
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u ( x ) = x - a<br />
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u <sup>'</sup> ( x ) = 1
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<math>u ^{'} ( x ) = 1</math>
  
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v ( x ) = e<sup>a + 2 - x</sup><br />
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v <sup>'</sup> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup>
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<math>v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}</math>
  
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<math> \int f (x)\,dx </math> = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br />
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<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math> <br />
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                  = [( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> ]- <math>\int</math> 1 -e<sup>a + 2 - x</sup> dx
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                  <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx</math>
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                  = ( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> - e<sup>a + 2 - x</sup>
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                  <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}</math>
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                  = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 )
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                  <math>=[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}</math>
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                  = F<sub>a</sub> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 )
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                  <math>\Rightarrow  F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c</math>
  
 
für Interessierte: [[Der Holzweg]]
 
für Interessierte: [[Der Holzweg]]
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=== 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten ===
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::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math>
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Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
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<math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br />
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              <math> = [-e^{4 - x} ( x - 1 )]^{b}_{2}</math><br />
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              <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2} ( 2 - 1 )]</math><br />
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              <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{2} ( 1 )]</math><br />           
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                                              <math>  | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br />
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              <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]
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              =  [e^{2}]</math><br />
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'''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''.

Aktuelle Version vom 5. Januar 2010, 19:27 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa

1.) Von -\infty < x < a verläuft der Graph Gfa unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von a < x < \infty verläuft der Graph Gfa oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph GFa in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei x = a ist der Graph Gfa gleich Null ( Gfa = 0 )und das Steiguungsverhalten von GFa ändert für x < a und x > a das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph GFa an der Stell x = a einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

Definiere:

u ( x ) = x - a
u ^{'} ( x ) = 1

v ( x ) = e^{a + 2 - x}
v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x} 

 \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a ) e^{a + 2 - x} 

                  =[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx
                  =[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}
                  =[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}

                 \Rightarrow  F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten

Hinweis: \lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0

Da die Nullstelle der Funktion fa bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f2 bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren. 

\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}

              = [-e^{4 - x} ( x - 1 )]^{b}_{2}

              = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2} ( 2 - 1 )]

              = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{2} ( 1 )]
             
                                               | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis 

              = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )] 
 
               =  [e^{2}]

Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e2.
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