Lösung zur Teilaufgabe b): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 4. Januar 2010, 00:24 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_{f_a} unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_{f_a} oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, das der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.)Bei $x = a$ ist der Graph G_{f_a} gleich Null ( G_{f_a} = 0 )und das Steiguungsverhalten von G_{F_a} ändertfür $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph G_{F_a} an der Stell $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_{a}^{b}$ f_a ( x ) dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

Definiere:

u ( x ) = x - a
u ^' ( x ) = 1

v ( x ) = e^{a + 2 - x}
v ^' ( x ) = -e^{a + 2 - x}

$\int_{a}^{b}$ f_a ( x ) dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

                 = [( x - a ) -e^{a + 2 - x} ]^b_a -  1 -e^{a + 2 - x} dx
                 = ( x - a ) -e^{a + 2 - x} - e^{a + 2 - x}
                 = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )

                 --> F_a ( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}$ xe^-x =0

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, das die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

$\int_{2}^{b}$ f₂ ( x ) =

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 .)Bei <math>x = a</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändertfür <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.
 === 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration ===
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 [http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration Hilfe zur partiellen Integration]
-<math> \int f (x)\,dx </math> = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br />
+<math> \int_{a}^{b} </math> f<sub>a</sub> ( x ) dx = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br />
 Definiere:
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 v <sup>'</sup> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup>
-<math> \int f (x)\,dx </math> = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br />
+<math> \int_{a}^{b} </math> f<sub>a</sub> ( x ) dx = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> <br />
-                   = [( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> ]- <math>\int</math> 1 -e<sup>a + 2 - x</sup> dx
+                   = [( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> ]<sup>b</sup><sub>a</sub> - <math> \int_{a}^{b} </math> 1 -e<sup>a + 2 - x</sup> dx
                    = ( x - a ) -e<sup>a + 2 - x</sup> - e<sup>a + 2 - x</sup>
                    = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 )
-                   = F<sub>a</sub> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 )
+                   --> F<sub>a</sub> ( x ) = -e<sup>a + 2 - x</sup> ( x - a + 1 ) + c
 für Interessierte: [[Der Holzweg]]
+=== 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten ===
+::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}</math>'''xe<sup>-x</sup> =0'''
+Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, das die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.
+<math>\int_{2}^{b}</math> f<sub>2</sub> ( x ) =

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Version vom 4. Januar 2010, 00:24 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

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1. Eigenschaften einer Stammfunktion von fa

2. Bestimmung einer Stammfunktion von fa durch partielle Integration

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f2 im I. Quadranten

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2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten