Schluss: Unterschied zwischen den Versionen
Aus RMG-Wiki
(Lösung eingefügt) |
(Lösung eingefügt) |
||
| (4 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 31: | Zeile 31: | ||
*<math>\Leftrightarrow (\sqrt{37})^2=6^2+1^2</math> | *<math>\Leftrightarrow (\sqrt{37})^2=6^2+1^2</math> | ||
*<math>\Leftrightarrow {37=37\,}</math><br /><br /> | *<math>\Leftrightarrow {37=37\,}</math><br /><br /> | ||
| − | *Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck rechtwinklig sein | + | *Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck <math>\triangle{KLM}</math> rechtwinklig sein |
| + | }} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | b) {{Lösung versteckt| | ||
| + | *Im Folgenden siehst du eine '''Skizze''' zur Aufgabenstellung:<br /> | ||
| + | [[Bild:Lernpfad_SdP_Skizze_SdP_1b.png]]<br /> | ||
| + | *h soll berechnet werden, das geht über zwei Ansätze: | ||
| + | *'''1)''' Höhe über den Satz des Pythagoras in einem der kleineren rechtwinkligen Dreiecke berechnen | ||
| + | *'''2)''' Höhe über den Höhensatz berechnen<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | '''1.Möglichkeit:''' | ||
| + | *Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:<br /> | ||
| + | *<math>(\overline{MK})^2=\overline{ML} \cdot q</math> | ||
| + | *<math>q=\frac{(\overline{MK})^2}{\overline{ML}}=\frac{36}{\sqrt{37}} \approx 5,92</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Danach setzt man den Satz des Pythagoras für das entsprechende rechtwinklige Dreieck an:<br /> | ||
| + | *<math>(\overline{MK})^2=h^2+q^2</math> | ||
| + | *<math>h^2=(\overline{MK})^2-q^2</math> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{(\overline{MK})^2-q^2}=\sqrt{6^2-(5,92)^2} \approx 0,99</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | '''2.Möglichkeit:''' | ||
| + | *Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:<br /> | ||
| + | *<math>(\overline{KL})^2=\overline{ML} \cdot p</math> | ||
| + | *<math>p=\frac{(\overline{KL})^2}{\overline{ML}}=\frac{1}{\sqrt{37}} \approx 0,16</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Danach berechnet man den fehlenden Hypotenusenabschnitt:<br /> | ||
| + | *<math>{h=p+q\,}</math> | ||
| + | *<math>q=h-p=\sqrt{37}-0,16 \approx 5,92</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Jetzt kann man die Höhe über den Höhensatz berechnen:<br /> | ||
| + | *<math>h^2=p \cdot q</math> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{(0,16) \cdot (5,92)} \approx 0,99</math> | ||
}} | }} | ||
==Aufgabe 2== | ==Aufgabe 2== | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
| + | *Wähle <math>{Hypotenuse=a\,}</math>, <math>{Kathete_1=b\,}</math> und <math>{Kathete_2=c\,}</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Die beiden Hypotenusenabschnitte ergeben addiert die Länge der Hypotenuse | ||
| + | *<math>{a=g+h=3cm+5cm=8cm\,}</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Die Höhe kann man über den Höhensatz berechnen:<br /> | ||
| + | *<math>{h^2=g \cdot h\,}</math> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{g \cdot h}=\sqrt{3cm \cdot 5cm}=\sqrt{15}cm</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Die beiden Katheten können über den Kathetensatz berechnet werden: | ||
| + | *Wähle <math>{g\,}</math> anliegend an <math>{b\,}</math> und <math>{h\,}</math> anliegend an <math>{c\,}</math><br /> | ||
| + | *<math>{b^2=a \cdot g\,}</math> | ||
| + | *<math>b=\sqrt{a \cdot g}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 3cm} \approx 3,41cm</math><br /><br /> | ||
| + | *<math>{c^2=a \cdot h\,}</math> | ||
| + | *<math>c=\sqrt{a \cdot h}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 5cm} \approx 4,40cm</math><br /><br /> | ||
| + | *Die Länge der beiden Katheten könnte auch über den Satz des Pythagoras in den kleineren rechtwinkligen Dreiecken, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, berechnet werden | ||
| + | *Die zweite Kathete könnte auch über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> berechnet werden | ||
}} | }} | ||
==Aufgabe 3== | ==Aufgabe 3== | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
| + | *Die Bilddiagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Grafik zu Aufgabe 20 in deinem Mathematik Buch auf S.48) | ||
| + | *Die Katheten verhalten sich dabei wie 16 Teile zu 9 Teilen | ||
| + | *Wähle ein Teil als <math>{x\,}</math> | ||
| + | *Damit hat die Breite <math>{16x\,}</math> und die Höhe <math>{9x\,}</math> | ||
| + | *Damit kann man den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ansetzen:<br /> | ||
| + | *<math>{(80cm)^2=(16x)^2+(9x)^2\,}</math> | ||
| + | *<math>{6400cm^2=256x^2+81x^2\,}</math> | ||
| + | *<math>{6400cm^2=337x^2\,}</math> | ||
| + | *<math>x^2=\frac{6400}{337}cm^2</math> | ||
| + | *<math>x=\sqrt{\frac{6400}{337}}cm \approx 4,36cm</math><br /><br /> | ||
| + | Die Breite beträgt <math>{16x\,}</math> | ||
| + | *<math>{b=16 \cdot 4,36cm=69,76cm\,}</math> | ||
| + | *<math>69,76cm < 75cm \Rightarrow</math> Der Fernseher passt in die Nische | ||
}} | }} | ||
==Aufgabe 4== | ==Aufgabe 4== | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
| + | *Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang | ||
| + | *Die Diagonale <math>{d\,}</math> über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt: | ||
| + | *<math>{d^2=(10cm)^2+(10cm)^2\,}</math> | ||
| + | *<math>d=\sqrt{100cm^2+100cm^2}=\sqrt{200}cm</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Da alle Diagonalen gleich lang sind, muss das gesuchte Dreieck, das als Seiten drei Diagonalen hat, gleichseitig sein | ||
| + | *Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: <math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h</math> | ||
| + | *Grundseite ist die Diagonale, es fehlt also noch die Höhe | ||
| + | *Die Idee zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wurde bereits auf einem vorhergehenden Übungsblatt behandelt | ||
| + | *Du findest sie auf [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Lösungen zum Übungsblatt zum Satz des Pythagoras|dieser Seite]] in '''Aufgabe 3'''<br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *<math>(\sqrt{200}cm)^2=(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2+h^2</math> | ||
| + | *<math>h^2=(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2</math> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2}</math> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{200cm^2-\frac{1}{4} \cdot 200cm^2}</math> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{200cm^2-50cm^2}</math><br /> | ||
| + | *<math>h=\sqrt{150}cm</math><br /><br /> | ||
| + | |||
| + | *Damit kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:<br /> | ||
| + | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h</math> | ||
| + | *<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm \cdot \sqrt{150}cm \approx 86,60cm^2</math> | ||
}} | }} | ||
==Aufgabe 5== | ==Aufgabe 5== | ||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
| + | *Man kann das rechtwinklige Feld entweder über den Höhen- oder den Kathetensatz umwandeln | ||
| + | *Um dir die beiden Verfahren noch einmal anzusehen siehe auf den beiden folgenden Seiten nach: | ||
| + | *[[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat (H) - Seite 7|Umwandlung über den Höhensatz]] | ||
| + | *[[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat (K) - Seite 8|Umwandlung über den Kathetensatz]] | ||
}} | }} | ||
Aktuelle Version vom 25. Januar 2009, 15:44 Uhr
Arbeitsauftrag:
- Hole dir das Arbeitsblatt Die Satzgruppe des Pythagoras
- Fülle das Arbeitsblatt anhand der im Lernpfad gelernten Sätze aus
- HINWEIS: Solltest du dir bei einem der Sätze nicht mehr sicher sein, lies noch einmal im Heft oder im Lernpfad nach
- Vergleiche deine Lösungen mit den Einträgen aus dem Heft oder mit den entsprechenden Seiten des Lernpfades
Arbeitsauftrag:
- Hole dir das Übungsblatt zur Satzgruppe des Pythagoras
- Löse die Aufgaben und vergleiche sie mit den unten stehenden Lösungen
Aufgabe 1
rechtwinklig ist, ergibt der Satz des Pythagoras eine wahre Aussage
ist die längste Seite des Dreiecks und wäre auch die Hypotenuse
Aufgabe 2
, 
und 
anliegend an 
und 
anliegend an 
berechnet werden
Aufgabe 3
und die Höhe 
Der Fernseher passt in die Nische
Aufgabe 4
über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt:
Aufgabe 5
Sehr schön! Du hast den Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras jetzt beendet 
