Weiterführende Aufgaben

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br /> 
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben  verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts. 
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird. 
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3? 
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht? 
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest. 
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage.  <br />





<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5; 
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr2.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>  <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>; 
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t;   | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t;    | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />

</popup> </div>



<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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