Einstiegsaufgaben

===='''Einstiegsaufgaben zur natürlichen Exponentialfunktion'''====

<br />'''Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.'''

f(x)=5e<sup>x</sup> + x
<popup name="Lösung">
-''Ableitung:'' f'(x)=5e<sup>x</sup> + 1;
<br>-''Steigung:''  f'(1)=5e+1;
</popup>


{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|- 
|
Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig: 
<br />'''''WIEDERHOLUNG:''''' 
<br />-''Bemerkung:'' a,b E |R<sup>+</sup> \ {1} und x,y E |R 
<br />1. a<sup>x</sup><math>\cdot</math>b<sup>y</sup> = a<sup>x+y</sup>
<br />2. <math>\frac{a^x} {a^y} </math> = a<sup>x-y</sup>
<br />3. a<sup>x</sup> <math>\cdot</math> b<sup>x</sup> = (a<math>\cdot</math>b)<sup>x</sup>
<br />4. <math>\frac{a^x} {a^x} </math> = (<math>\frac a b</math>)<sup>x</sup>
<br />5. (a<sup>x</sup>)<sup>y</sup> = a<sup>x<math>\cdot</math>y</sup>
|}

<br /> '''Differenziere folgende Funktionsterme!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx
<br /> 3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>
<br /> 4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>
<br />
<popup name="Lösung">
1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>;  Kettenregel: f(x)=u(v(x))→f'(x)=u'(v(x))<math>\cdot</math> v'(x)<br />
f'(x)=e<sup>3x-8</sup> <math>\cdot</math> 3 =''' 3e<sup>3x-8</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx; Kettenregel (s.o.)und Produktregel: f(x)=u(x)<math>\cdot</math>v(x) →f'(x)=u'(x)<math>\cdot</math>v(x)+u(x)<math>\cdot</math>v'(x) <br />
f'(x)=e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> (-sinx)<math>\cdot</math>sinx+e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>cosx= <br />
='''e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>(-(sinx)<sup>2</sup>+cosx)'''<br /><br />
3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>; Kettenregel<br />
f'(x)=e<sup>-x</sup><math>\cdot</math>(-1)='''-e<sup>-x</sup>'''<br /><br />
4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>; Produktregel <br />
f'(x)= 2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+(x<sup>2</sup>-4)<math>\cdot</math>e<sup>x</sup><math>\cdot</math>1=<br />
=2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+x<sup>2</sup><math>\cdot</math>e<sup>x</sup>-4e<sup>x</sup>=<br />
='''e<sup>x</sup>(2x+x<sup>2</sup>-4)'''
</popup>


<br /> '''Finde die Stammfunktion zu den beiden gegebenen Funktionstermen!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup><br />
<popup name="Lösung">
''Zur Erinnerung:'' F'(x)=f(x); <br />
1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>; <br />
'''F(x)=2,5e<sup>2x</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup>; <br />
'''F(x)=1,5e<sup>2x+1</sup>'''

</popup>

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[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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