Quelltext der Seite Lösung zur Teilaufgabe b)

=== 1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> ===

1.) Von <math>-\infty < x < a </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton fallend ist.<br />
Von <math>a < x < \infty </math> verläuft der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> in diesem Intervall streng monoton steigend ist.<br />

2.) Bei <math>x = a</math> ist der Graph G<sub>f<sub>a</sub></sub> gleich Null ( G<sub>f<sub>a</sub></sub> = 0 )und das Steiguungsverhalten von G<sub>F<sub>a</sub></sub> ändert für <math>x < a</math> und <math>x > a</math> das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G<sub>F<sub>a</sub></sub> an der Stell <math>x = a</math> einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

=== 2. Bestimmung einer Stammfunktion von f<sub>a</sub> durch partielle Integration ===

[http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration Hilfe zur partiellen Integration]

<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math>

Definiere:

<math>u ( x ) = x - a</math><br />
<math>u ^{'} ( x ) = 1</math>

<math>v ( x ) = e^{a + 2 - x}</math><br />
<math>v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}</math>

 <math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math> <br />
                   <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx</math>
                   <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}</math>
                   <math>=[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}</math>

                  <math>\Rightarrow  F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c</math>

für Interessierte: [[Der Holzweg]]

=== 3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f<sub>2</sub> im I. Quadranten ===

::Hinweis: <math>\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0 </math>

Da die Nullstelle der Funktion f<sub>a</sub> bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f<sub>2</sub> bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

 <math>\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x} ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}</math><br />
              <math> = [-e^{4 - x} ( x - 1 )]^{b}_{2}</math><br />
              <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2} ( 2 - 1 )]</math><br />
              <math> = \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] - [-e^{2} ( 1 )]</math><br />             
                                              <math>  | \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b} ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis </math><br />
              <math> = 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )] 
 
               =  [e^{2}]</math><br />
 '''Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt ''e<sup>2</sup>'''''.