Abi 2015 Analysis I Teil B


__NOTOC__
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<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">

<center><big>'''Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015'''</big></center>
<center><big>'''Analysis I - Teil B'''</big></center>


<center>[https://www.isb.bayern.de/download/19427/abiturpruefung_mathematik_2017_pruefungsteil_a.pdf '''Download der Originalaufgaben'''] - [[Media:Abiturprüfung Mathematik 2017/Teil B|Lösung zum Ausdrucken]] </center>

</td></tr></table></center>
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<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">

;Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}</math> und Definitionsbereich D<sub>f</sub> = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit G<sub>f</sub>  bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

<math>\frac{2}{(x+1)(x+3)}</math> ; 
<math>\frac{2}{x^2+4x+3}</math> ;  
<math>\frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}</math>
:{{Lösung versteckt|1=
[[Bild:ABI2017_AI_TeilB_1a_Lös.jpg|700px]]
}}

b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G<sub>f</sub> ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G<sub>f</sub> an. Be-
stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G<sub>f</sub> mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion <math>p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5</math>, die die Nullstellen <math>x=-3</math> und <math>x=-1</math> hat.
Für  {{Lösung versteckt|1=
[[Bild:ABI2017_AI_TeilB_1b_Lös.jpg|700px]]
}}

c)Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f und p die Beziehung :
Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne
Berechnung von fx und px, dass x2 einzige Nullstelle von f ist und dass fG in 3;  2 streng monoton steigend sowie in 2;  1 streng monoton 
fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von f G an.

{{Lösung versteckt|1=
[[Bild:ABI2017_AI_TeilB_1c_Lös.jpg|700px]]G
}}
 
d)Berechnen Sie  f(5) und f(1,5) und skizzieren sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Abbildung 1.

{{Lösung versteckt|1=
[[Bild:ABI2017_AI_TeilB_1d_Lös.jpg|700px]]G
}}
</td></tr></table></center>


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