Lösung: Wendepunkte

<math>y  = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}</math> mit <math>x\in R</math> ; <math>a\in R</math>

== Wendepunkte ==

Zweite Ableitung: siehe Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math>

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung.

Mögl. Wendepunkte tretten für <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math> auf.<br />


:::::: <math>f_a^{''} (x) = 0\;</math><br />
: <math>e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 ) = 0    \;\;\;\;\;\; | \; e^{a+2-x} > 0</math><br />
::    <math> \rightarrow \; ( x - a - 2 ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\; | \;  + 2 ; + a</math><br />
::::::                <math>x = a + 2\;</math><br />


Möglicher Wendepunkt bei <math>x = a + 2 \; </math>


: <math>f_a ( a + 2 ) = ( a + 2 - a )\cdot e^{a+2-(a + 2 )}</math><br />
::::                       <math> = 2\cdot e^{a+2-a - 2 )}</math><br />
::::                       <math> = 2\cdot e^0</math><br />
::::                       <math> = 2\;</math><br />


<math> \rightarrow </math>    mög. WP <math>\; ( a + 2 / 2 )</math>



=== Überprüfung des Wendepunkts ===


==== 1. Möglichkeit ====

H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens

: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2  - h ) = \lim_{h\to 0}e^{a + 2 - (a + 2 - h )}\cdot ( a + 2 - h - a - 2 )</math><br />
:::::::                                           <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 + h }\cdot (- h)</math><br />
:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{h }\cdot ( -h )</math><br />
:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}-h\cdot e^{h }</math><br />
: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 -  h )<0</math>



: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h ) =\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - (a + 2 + h )}\cdot ( a + 2 + h - a - 2 )</math><br />
:::::::                                           <math>=\lim_{h\to 0} e^{a + 2 - a- 2 - h }\cdot (+ h)</math><br />
:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}e^{-h }\cdot ( +h )</math><br />
:::::::                                           <math>= \lim_{h\to 0}+h\cdot e^{-h }</math><br />
: <math>\lim_{h\to 0}f_a^{''} ( a + 2 +  h )>0</math>
 
<math>\rightarrow</math>  VZW bei <math>x = a + 2\;</math><br />
<math>\rightarrow</math>  Wendepunkt bei <math>\;( a + 2 / 2 )</math>


<u>zur Verdeutlichung</u>

{| class="wikitable centersortable"
|+ Krümmungsverhalten
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! x<2+a
! 
! x=2+a
! 
! x>2+a
|-
! style="background: #FFDDDD;"|e<sup>a + 2 - x</sup>
| 
| +
| 
| +
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|( x - a - 2 )
| 
| -
| 
| +
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( x )
| 
| -
| 
| +
| 
|}

<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>

==== 2. Möglichkeit ====

Verwendung der dritten Ableitung

<math>f_a (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a)</math><br />

<math>f_a^{'} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( 1+a-x )</math><br />

<math>f_a^{''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )</math><br />


Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden.
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]

: <math>f_a^{'''} (x) = e^{a+2-x}\cdot ( x - a - 2 )\cdot (-1) + 1\cdot e^{a+2-x}</math><br />
:::                                <math>= e^{a+2-x}\cdot ( a + 2 - x + 1 )</math><br />
:::                                <math>= ( a + 3 - x )\cdot e^{a+2-x}</math><br />

Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.

: <math>f_a^{'''} ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 ))\cdot e^{a + 2 - ( a + 2 )}</math><br />
::::                                      <math>= ( a + 3 - a - 2 ) \cdot e^{a + 2 -  a - 2 }</math><br />
::::                                      <math>= 1\cdot e^{0}</math><br />
::::                                      <math>= 1\;</math><br /> 
::::                                      <math>> 0\;</math>

<math>\rightarrow</math>  WP <math>( a + 2 / 2 )\;</math>