Die lineare Funktion

== <span style="color: darkblue">Geradengleichung</span>==

<br />

=== <span style="color: blue">Ufos versenken</span> ===

Zuerst einmal die wichtigste Grundlage, um mit linearen Funktionen umgehen zu können - die '''Geradengleichung'''.<br />
Sie legt eine solche Funktion eindeutig fest.<br /><br />
Zum Einstieg ein kleines Spiel!<br />
Beim Ufos versenken geht es darum dem Schützen so genau wie möglich die Daten für die Schusslinie mitzuteilen, damit dieser dann erfolgreich die feindlichen Ufos abwehren kann.
Er muss zum einen wissen von welcher Position aus er schießen muss und zum andern welche Richtung er anpeilen muss.<br />
Peile mit dem Laserpoint (rotes Kreuz) jeweils den Bug (blauer Kreis) des Ufos an und richte dann die Schusslinie so aus, dass sie auch das Heck (blaues Kreuz) genau durchläuft. Hierzu kannst du sowohl Schütze als auch Laserpoint mit der Maus verschieben.<br />
Trage die Koordinaten anschließend auf deinem Arbeitsblatt ein und vergleiche zum Schluss deine Ergebnisse!<br /><br />
Hier ein Beispiel:


[[Bild:Beispiel.png|350px]]

 {| class="prettytable" align="center"
| <span style="color: darkblue">Schütze</span>
| <span style="color: darkblue">Laserpoint</span>
|-
| 4
| -1      /      4
|-
|}
Die Lage des Laserpoints gibst du mit den Koordinaten vom '''Schützen ausgehend''' an!<br /><br />
::::::::::::<ggb_applet height="400" width="700" filename="Ufos versenken.ggb" />

----


=== <span style="color: blue">Das Steigungsdreieck</span> ===
Du hast dem Schützen nun zwei wichtige Informationen mitgeteilt, mit deren Hilfe sich die Schusslinie - eine Gerade - aufstellen lässt. <br />
Zuerst einmal die '''Steigung''' - Sie wird in der Mathematik mit '''m''' bezeichnet!<br />
Indem du vom Schützen ausgehend die Lage des Laserpoints ermittelt hast, hast du nicht anderes getan, als ein sogenanntes Steigunsdreieck zu beschreiben.<br /><br />
::::::::::::::::::::::[[Bild:Steigungsdreieck.png|450 px]]<br />
Im Beispiel gehen wir vom Punkt A <math>\left(2|1 \right)</math> aus um 2 Einheiten nach rechts,<br /> 
um eine Einheit nach oben und kommen so bei Punkt B <math>\left( 4|2\right)</math> wieder an.<br /> Daraus entsteht das rechtwinklige <span style="color: darkorange">Steigungsdreieck</span>, dessen Katheten einmal<br />
den waagrechten Zuwachs, <math>\triangle x</math>, und den Höhenzuwachs, <math>\triangle y</math>, anzeigen.<br /> <br />
<math>\triangle x</math> und <math>\triangle y</math> ist jeweils die Differenz aus den beiden x- bzw. y-Werten der Punkte A und B.<br />
→ <math>\triangle x</math> = x<sub>B</sub> - x<sub>A</sub> = 4 - 2 = 2 <br />        
→ <math>\triangle y</math> = y<sub>B</sub> - y<sub>A</sub> = 2 - 1 = 1<br /><br />
Der Quotient "'''Höhenzuwachs''' durch '''waagrechten Zuwachs'''" ergibt die Steigung m.<br />
m = <math>\frac{\triangle x}{\triangle y}</math> = <math>\frac{1}{2} </math> <br />
Dabei ist es völlig egal bei welchem Punkt man startet bzw. wie groß das Steigungsdreieck ist,<br />
da das Verhältnis der beiden Katheten immer das gleiche bleibt.<br />
Nehmen wir zum Beipiel das zweite <span style="color: blue">Steigungsdreieck</span>:<br /> 
m = <math>\frac{2}{4}</math> = <math>\frac{1}{2}</math> <br /><br />
Die Steigung m dieser Geraden beträgt also <u>an jeder Stelle</u> 0,5!<br /><br />


<span style="color: darkorange">'''Arbeitsauftrag 1'''</span>: Verändere im GeoGebra-Applet am Schieberegler m ein paar mal die Steigung und versuche Aussagen über den Zusammenhang zwischen Steigung m und dem Aussehen des Graphen der Geraden zu machen!<br />
( Was kann man bei positivem bzw. negativem m beobachten? Wie verhält sich der Graph bei kleinerem bzw. größerem Betrag von m? Wie verhalten sich zwei Geraden mit der gleichen Steigung?)<br /><br />

<ggb_applet height="400" width="700" filename="	Steigungschieberegler.ggb" /><br /><br />

<span style="color: darkorange">'''Arbeitsauftrag 2'''</span>: Versuche die Steigung unseres "Ufo-Beispiels" zu bestimmen! Zeichne dazu ein geeignetes Steigungsdreieck in die Grafik auf deinem Arbeitsblatt ein!<br /><br />

{{Lösung versteckt|
'''''Arbeitsauftrag 1:''''' 
* Ist die Steigung m positiv, so steigt die Gerade - d.h. ihr Graf verläuft von links unten nach rechts oben. Die Gerade fällt dagegen, wenn m negativ ist.<br />
* Je kleiner der Betrag von m, desto flacher verläuft der Graf. Bei größer werdendem m wird er immer steiler. <br />
* Zwei Geraden mit gleichem m, also der gleichen Steigung, sind parallel!

'''''Arbeitsauftrag 2:''''' 
* Die Steigung im "Ufo-Beispiel" beträgt <math>-\frac{1}{4}</math>; <math>m=-\frac{1}{4}</math> 
}}

::::::::::::{| class="prettytable" 
|- 
| 1 |'''Steigung m:    m = <math>\frac{\triangle x}{\triangle y}</math> = Höhenzuwachs / waagrechten Zuwachs'''<br />

|- 

|}<br /><br />
----

=== <span style="color: blue">Der y-Abschnitt</span> ===
Die zweite wichtige Information hast du gewissermaßen mit der Lage des Schützen angegeben.
Jede Gerade schneidet in einem bestimmten Punkt die y-Achse! Das kann sowohl im positiven als auch im negativen Bereich passieren. 
Diesen Schnittpunkt mit der y-Achse nennt man '''y-Abschnitt''' - er wird gewöhnlich mit '''t''' bezeichnet.<br /><br />
[[Bild:y-Abschnitt.png|450 px]]<br />
:::::::::::::::::::Im Beipiel siehst du drei verschiedene Geraden, mit dem y-Abschnitt <br />
:::::::::::::::::::<span style="color: blue">t<sub>A</sub> = -1</span>
:::::::::::::::::::<span style="color: orange">t<sub>B</sub> = 0.5</span>
:::::::::::::::::::<span style="color: darkblue">t<sub>C</sub> = 3</span><br /><br />
:::::::::::::::::::'''Ein positives t verschiebt also die Gerade ein Stück nach oben''' (vom Ursprung ausgehend),<br /> '''- es lässt sie im positiven Bereich mit der y-Achse schneiden.'''<br />
:::::::::::::::::::'''Ist t negativ, wird die Gerade nach unten verschoben.'''<br /><br />

<span style="color: darkorange">'''Arbeitsauftrag 1'''</span>: Zeichne auf deinem Arbeitsbaltt eine Gerade mit der Steigung m = 2 und dem y-Abschnitt t = 1 in das Koordinatensystem!<br /><br />
<span style="color: darkorange">'''Arbeitsauftrag 2'''</span>: Bestimme wieder den y-Abschnitt des "Ufo-Beispiels"!<br /><br />

{{Lösung versteckt|
'''''Arbeitsauftrag 1:'''''<br /> 
'''''Arbeitsauftrag 2:''''' 
* Der y-Abschnitt t im "Ufo-Beispiel" liegt bei 4; <math>t=4</math>
}}


::::::::::::{| class="prettytable" 
|- 
| 1 |'''y-Abschnitt t: Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse'''
|- 

|}<br /><br />
----


=== <span style="color: blue">Besondere Geraden</span> ===

<br />
* '''<u>Ursprungsgerade</u>'''<br />

Als '''Ursprungsgeraden''' werden alle diejenigen Geraden bezeichnet, die den '''Ursprung P <math>\left(0|0\right)</math>''' durchlaufen. <br />

'''<span style="color: darkorange">Arbeitsauftrag 1</span>''': Gib an welchen y-Abschnitt eine Ursprungsgerade hat!<br /><br />
{{Lösung versteckt|
'''''Arbeitsauftrag 1:''''' 
* Der y-Abschnitt einer Ursprungsgerade lautet immer <math>t=0</math>, da die Gerade die y-Achse im Punkt P<math>\left( 0|0\right)</math> schneidet. Ihre Geradengleichung sieht also folgendermaßen aus: <math>y=mx</math>; m kann beliebig gewählt werden, t muss 0 sein!
}}<br />

:::* '''<u>Winkelhalbierende</u>'''<br />

:::Die '''Winkelhalbierenden''' im Koordinatensystem sind diejenigen Geraden, die den 1. & 3. bzw. 2. & 4. Quadranten in jeweils '''zwei gleichgroße Teile teilen'''. <br />

:::'''<span style="color: darkorange">Arbeitsauftrag 2</span>''': Gib den Winkel an, unter dem die Winkelhalbierende die x- bzw. y-Achse dann schneidet!<br /><br />
:::{{Lösung versteckt|
'''''Arbeitsauftrag 2:''''' 
* Das lässt sich leicht erkennen, da die beiden Koordinatenachsen immer senkrecht aufeinander stehen, d.h. zwischen ihnen liegt ein Winkel von 90°. Die Winkelhalbierende, die dieses Winkelfeld genau teilt, schließt also mit beiden Koordinatenachsen jeweils einen Winkel von 45° ein!
}}<br />

::::::* '''<u>Parallele zur x-Achse</u>'''<br />

::::::'''<span style="color: darkorange">Arbeitsauftrag 3</span>''': Überlege wie die Geradengleichung einer zur x-Achse parallelen Geraden lautet!<br /><br />
::::::{{Lösung versteckt|
'''''Arbeitsauftrag 3:''''' 
* Die Geradengleichung für Parallele zur x-Achse lautet <math>y=t</math>. Da eine zur x-Achse parallele Gerade weder steigt noch fällt, sondern einfach waagrecht verläuft, gilt: <math>m=0</math>.<br /> Somit fällt in der Gleichung auch das mit 0 multiplizierte x weg, t ist beliebig!
}}<br />

== <span style="color: darkblue">Zusammenfassung</span>==
Eine Funktion der Form <math>f(x) = mx + t</math> heißt '''lineare Funktion'''. Der Graph einer linearen Funktion ist eine '''Gerade'''.<br /><br />
Eine Gerade hat die '''Steigung m''' und den '''y-Abschnitt t'''. <br /><br />

'''m = <math>\frac{\partial x}{\partial y}</math>'''<br />
'''m > 0''' → Gerade steigt<br />
'''m < 0''' → Gerade fällt<br />
Je größer '''|m|''' umso steiler die Gerade!<br />
Geraden mit gleichem '''m''' sind '''parallel'''!<br /><br />

'''t > 0''' → die Gerade schneidet die y-Achse '''oberhalb''' des Ursprungs<br />
'''t < 0''' → die Gerade schneidet die y-Achse '''unterhalb''' des Ursprungs<br /><br />

<span style="color: blue">'''m'''</span> und <span style="color: blue">'''t'''</span> sind feste Zahlen, <span style="color: blue">'''Parameter'''</span>, die die Gerade eindeutig festlegen.<br />
Im Gegensatz dazu sind <span style="color: darkorange">'''x'''</span> und <span style="color: darkorange">'''y'''</span> unbekannte Größen, <span style="color: darkorange">'''Variablen'''</span>.

Zusammen bilden sie die '''Geradengleichung''' <br />
'''<math>y = m x + t</math>'''<br /><br />



== <span style="color: darkblue">Aufgaben</span>==
1. Lies aus den folgenden Geradengleichungen sowohl die Steigung als auch den y-Abschnitt ab!

::a) y = 2x - 4     
::b) y = <math>\frac{1}{3}</math> x + 2
::c) y = -<math>\frac{2}{5}</math> x + 1     
::d) y = 3x - 0,5
<br />

{{Lösung versteckt|
'''''Arbeitsauftrag 1:'''''<br /> 
'''''Arbeitsauftrag 2:''''' 
* Der y-Abschnitt t im "Ufo-Beispiel" liegt bei 4; <math>t=4</math>
}}
2. Zeichen die Grafen der folgenden Geraden!
::a) y = -x
::b) y = 0,5
::c) y = -2
::d) y = <math>\frac{1}{2}</math> x - 1
::e) y = -1,5x + 2
<br />

{{Lösung versteckt|
[[Bild:lineare Funktionen-Aufgabe2.png]]
}}
3. Ordne den dargestellten Geraden jeweils eine Geradengleichung zu!
<br />
:::::::::::::[[Bild:Geraden.jpg|350px]]

<br />
4. Sind die folgenden Funktionen linear? Begründe jeweils deine Entscheidung!

::a) f(x) = 23 - 15x
::b) f(x) = 2x² - 4
::c) f(x) = 3x + 0,5x
<br />
5. Gib zu den in Worten genannten Vorschriften jeweils eine Funktionsgleichung an!

::a) Jedem x wird das Doppelte zugeordnet.
::b) Jedem x wird das um 3 verminderte Vierfache zugeordnet.
::c) Jedem x wird das um 2 verminderte Dreifache zugeordnet.
<br />
6. Zeichne die Grafen der beiden abschnittsweise defienierten Funktionen!

::a) 
<br />
7. Das Badewaser eines kleinen Gartenswimmingpools wird mit einer Gartenpumpe gleichmäßig abgepumpt. Der Graf im Diagramm stellt die Wasser menge in Abhängigkeit von der Pumpzeit da. Der vollständig befüllte Gartenpool fast eine Wassermenge von 40 m³.

::a) Wie groß ist die Wassermenge, die innerhalb einer Stunde abgepumpt wird?
::b) Gib eine Funktionsgleichung zum Grafen an!
::c) Lies am Grafen ab wie viel Zeit benötigt wird bis der Gartenpool genau bis zur Hälfte abgepumpt ist!