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Aufgaben des BMT 8 2008 Gruppe A

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[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=1e9b68843aae25c96e4af09bd8749883 BMT8 2008 Angabe]

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[http://www.isb.bayern.de/isb/index.aspx?MNav=0&QNav=11&TNav=0&INav=0&VTyp=1&Fach=30 frühere Jahrgänge]

=='''Aufgabe 1'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Aus einem Quader wurde an einer Ecke ein Würfel herausgeschnitten (vergleiche nebenstehende Abbildung). Berechne das Volumen des Restkörpers.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Das Volumen beträgt '''333 cm<sup>3</sup>'''.

:möglicher Rechenweg:
::V<sub>Quader</sub> - V<sub>Würfel</sub> = 
::5&nbsp;cm · 12&nbsp;cm · 6&nbsp;cm - (12&nbsp;cm - 9&nbsp;cm)<sup>3</sup> =
::360&nbsp;cm<sup>3</sup> - 27&nbsp;cm<sup>3</sup> =
::333&nbsp;cm<sup>3</sup>
}}
</div>
</div>


== '''Aufgabe 2a''' ==
<div class="multiplechoice-quiz">

Nebenstehende Tabelle zeigt, wie viele Euro-Geldscheine am 31. Mai 2007 in Umlauf waren. Beispielsweise befanden sich von den 200&nbsp;€-Scheinen 153 Millionen Stück in Umlauf.

:{| class="wikitable"
!style="vertical-align:top" width="50px"| Wert 
!Anzahl der Scheine <br> in Millionen
|-
| style="text-align:right" | 500&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 429
|-
| style="text-align:right" | 200&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 153
|-
| style="text-align:right" | 100&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 1116
|-
| style="text-align:right" | 50&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 3983
|-
| style="text-align:right" | 20&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 2244
|-
| style="text-align:right" | 10&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 1804
|-
| style="text-align:right" | 5&nbsp;€&nbsp;&nbsp;
| style="text-align:center" | 1325
|}

Wie hoch war der Gesamtwert aller 50 €-Scheine?
(!ca. 200 000 Euro)  (!ca. 2 Milliarden Euro) (!ca. 20 Milliarden Euro) (ca. 200 Milliarden Euro) (!ca. 2 Billionen Euro)

</div>

=='''Aufgabe 2b'''==
''Diese Aufgabe bezieht sich auf die Tabelle aus Aufgabe 2a!'' 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Ungefähr wie viel Prozent aller in Umlauf befindlichen Scheine waren 20 €-Scheine? Die notwendigen Rechnungen brauchen nicht exakt ausgeführt zu werden, es genügt jeweils ein Überschlag. Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:'''Ungefähr 20 %''' aller im Umlauf befindlicher Scheine waren 20 € Scheine.

:möglicher Lösungsweg:
::ungefähre Anzahl aller Scheine: 400 + 200 + 1100 + 4000 + 2200 + 1800 + 1300 = 5700 + 4000 + 1300 = 11000
::ungefähre Anzahl der 20 € - Scheine: 2200
::<math>\frac{2200}{11000}</math> = <math>\frac{1}{5}</math> = 20 %
}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 3a'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Bestimme die Lösung der Gleichung 12 - 6 · (<math>\frac{1}{3}</math>x + 3) = 4x.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:'''x = -1'''

:möglicher Rechenweg:
::12 - 6 · (<math>\frac{1}{3}</math>x + 3) = 4x
::12 - [6 · <math>\frac{1}{3}</math>x + 6 · 3] = 4x     ''Distributivgesetz''
::12 - [2x + 18] = 4x  
::12 - 2x - 18 = 4x     ''Klammer auflösen''
::-6 = 6x
::x = -1

}}
</div>
</div>

=='''Aufgabe 3b'''==
''Diese Aufgabe bezieht sich auf die Gleichung aus Aufgabe 3a!'' 

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Durch welche Zahl muss in obiger Gleichung die Zahl 12 ersetzt werden, damit x = 0 Lösung der neuen Gleichung ist?

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:12 muss durch '''18''' ersetzt werden.

:möglicher Lösungsweg:
::Mit x = 0 und z für die gesuchte Zahl ergibt sich folgende Gleichung:
::z - 6 · 3 = 0
::Also ist die Zahl 12 durch die Zahl 18 zu ersetzen.

}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 4a'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Im Rahmen des Verkehrsunterrichts wurden die Fahrräder der Unterstufenschüler überprüft. Die einzelnen Mängel wurden in folgender Liste zusammengefasst:

::* mangelhafte Beleuchtung an jedem 6. Fahrrad
::* mangelhafte Bremsen an 15 % der Fahrräder
::* mangelhafte Reifen an <math>\frac{1}{5}</math> der Fahrräder

Welcher Mangel wurde am häufigsten festgestellt? Begründe deine Antwort durch einen Größenvergleich der in der Liste genannten Anteile.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Am häufigsten wurden '''mangelhafte Reifen''' festgestellt.

:mögliche '''Begründung''' durch Größenvergleich in der '''Bruch'''darstellung:
::*mangelhafte Beleuchtung: "Jedes 6. Fahrrad" entspricht <math>\frac{1}{6}</math> aller Fahrräder
::*mangelhafte Bremsen: 15% = <math>\frac{15}{100}</math> = <math>\frac{3}{20}</math>
::*mangelhafte Reifen: <math>\frac{1}{5}</math>
::Größenvergleich der Brüche:
:::*<math>\frac{1}{5}</math> > <math>\frac{1}{6}</math>
:::*<math>\frac{1}{5}</math> = <math>\frac{4}{20}</math> > <math>\frac{3}{20}</math>
::Der Bruch <math>\frac{1}{5}</math> hat den größten Wert, der zugehörigen Mangel wurde am häufigsten festgestellt.

:mögliche '''Begründung''' durch Größenvergleich in der '''Prozent'''darstellung:
::*mangelhafte Beleuchtung: <math>\frac{1}{6}</math> entspricht ca. 17%
::*mangelhafte Bremsen: 15%
::*mangelhafte Reifen: <math>\frac{1}{5}</math> = 20%

}}
</div>
</div>

=='''Aufgabe 4b'''==
''Diese Aufgabe bezieht sich auf die Liste aus Aufgabe 4a!''

<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Peter schaut sich die obige Liste mit den Ergebnissen der Überprüfung an, rechnet kurz und sagt dann: „Nach dieser Liste sind mehr als 50 % aller untersuchten Fahrräder mangelhaft.“ Begründe, dass Peter nicht unbedingt Recht hat.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:'''Peter berücksichtigt nicht, dass ein Fahrrad auch zwei oder drei der genannten Mängel aufweisen kann.'''

}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 5a'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck beträgt (n-2)·180°.

Wie viele Ecken hat ein n-Eck mit der Innenwinkelsumme 720°?

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
: Es hat '''6''' Ecken.

: Begründung: 
::720° = 4 · 180°
::Also ist n - 2 = 4 und damit n = 6.

}}
</div>
</div>

=='''Aufgabe 5b'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Ein n-Eck mit lauter gleich langen Seiten und gleich großen Innenwinkeln heißt reguläres n-Eck. Berechne die Größe eines Innenwinkels im regulären Zehneck.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Die Größe des Innenwinkels beträgt '''144°'''.

:möglicher Lösungsweg:
::Zehneck: n = 10
::Innenwinkelsumme (10 - 2)·180° = 1440°
::Größe eines der zehn gleich großen Innenwinkel: 144° 

}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 6a'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Von einer Raute sind die Diagonalenlängen e und f bekannt. Überlege, wie man daraus den Flächeninhalt der Raute ermitteln kann, und gib eine entsprechende Formel an.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:'''A = 0,5 · e · f'''

:Mögliche Begründung:
::[[Bild:BMT8_08_A6a_01.jpg]] Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier gleiche rechtwinkligen Dreiecke. Gruppiert man die Dreiecke um, erhält man ein Rechteck mit z.B. den Kantenlängen 0,5·e und f. Der Flächeninhalt des Rechtecks (und damit der der Raute) beträgt 0,5·e·f.
::weitere Möglichkeiten:
::[[Bild:BMT8_08_A6a_02.jpg]][[Bild:BMT8_08_A6a_03.jpg]]

}}
</div>
</div>

=='''Aufgabe 6b'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal eine Raute, bei der ein Innenwinkel 60° beträgt.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:[[Bild:BMT8_08_A6b_01.jpg|right]]Zeichne eine beliebige Strecke [AB] der Länge a.
:[[Bild:BMT8_08_A6b_02.jpg|right]]Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten A und B. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt D der Raute.
:[[Bild:BMT8_08_A6b_03.jpg|right]]Zeichne zwei Kreise mit dem Radius a und den Mittelpunkten B und D. Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C der Raute.

}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 7'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Berechne den Wert des Terms 0,1 · (2,4 : 0,6).

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Der Wert des Terms beträgt '''0,4'''.

:Möglicher Rechenweg:
::0,1 · (2,4 : 0,6) = 0,1 · (24 : 6) = 0,1 · 4 = 0,4

}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 8a'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Gib zwei Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen an, so dass auf der Zahlengeraden die Zahl 20 in der Mitte zwischen diesen beiden Zahlen liegt.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:z.B.'''-10 und 50''' 

:Begründung:
::[[Bild:BMT8:08_A08a.jpg]]
::Geht man von der Zahl 20 aus '''30 nach links''', kommt man zur Zahl -10. 
::Geht man von der Zahl 20 aus '''30 nach rechts''', kommt man zur Zahl 50. 

}}
</div>
</div>

=='''Aufgabe 8b'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Bestimme den Mittelwert der Zahlen <math>\frac{1}{3}</math> und <math>\frac{1}{2}</math>.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Der Mittelwert der beiden Zahlen ist '''<math>\frac{5}{12}</math>'''.

:Lösung durch Rechnung:
::(<math>\frac{1}{3}</math> + <math>\frac{1}{2}</math>) : 2 = 
::(<math>\frac{2}{6}</math> + <math>\frac{3}{6}</math>) : 2 =     ''Hauptnenner bilden''
::<math>\frac{5}{6}</math> : 2 = 
::<math>\frac{5}{12}</math>

:Überlegung am Zahlenstrahl:
::[[Bild:BMT8:08_A08b.jpg]]
::Es gilt: <math>\frac{1}{3}</math> = <math>\frac{2}{6}</math> = <math>\frac{4}{12}</math> und <math>\frac{1}{2}</math> = <math>\frac{3}{6}</math> = <math>\frac{6}{12}</math>
::Der Bruch <math>\frac{5}{12}</math> liegt genau in der Mitte zwischen <math>\frac{4}{12}</math> und <math>\frac{6}{12}</math> 

}}
</div>
</div>


=='''Aufgabe 9a'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Die Nationalfahne der Schweiz zeigt ein weißes Kreuz auf rotem Grund. Für die vier kongruenten Arme des Kreuzes ist durch Beschluss der Schweizer Bundes- versammlung aus dem Jahr 1889 festgelegt: Die Länge l eines Arms ist um <math>\frac{1}{6}</math> der Breite b größer als b (vergleiche nebenstehende Abbildung).

Wie lang ist ein Arm, wenn seine Breite 18 cm beträgt?

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:Der Arm ist '''21 cm''' lang.

:mögliche Lösungswege:
::l = b + <math>\frac{1}{6}</math>b = 18 cm + 3 cm = 21 cm 
::oder
::l = b + <math>\frac{1}{6}</math>b = <math>\frac{7}{6}</math>b = <math>\frac{7}{6}</math>·18 cm = (18 cm : 6)· 7 = 21 cm
 
}}
</div>
</div>

=='''Aufgabe 9b'''==
<div style="padding:10px;background:#ffffff;border:1px groove;">

Stelle einen Term auf, der den Flächeninhalt des weißen Kreuzes in Abhängigkeit von der Breite b eines Arms beschreibt. Fasse den Term, in dem nur noch b als Variable vorkommen soll, so weit wie möglich zusammen.

<div style="padding:1px;background:#ddeeff;border:1px groove;">
:{{Lösung versteckt|1=
:'''A = <math>\frac{17}{3}</math>b<sup>2</sup>'''

:Möglicher Lösungsweg:
::A = 4 · l·b + b<sup>2</sup> = 4 · <math>\frac{7}{6}</math>b · b + b<sup>2</sup> = <math>\frac{28}{6}</math>b<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = <math>\frac{34}{6}</math>b<sup>2</sup> = <math>\frac{17}{3}</math>b<sup>2</sup>

}}
</div>
</div>