LK Mathematik/Abitur/2004 II - Versionsgeschichte

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Werner Ann Christin am 28. März 2010 um 14:30 Uhr

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Isabell, Ann Christin, Johanna

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−	e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt (1\|2) verläuft.	+	e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt P (1\|2) verläuft.

	Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.		Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.

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 ;Aufgabe 1
-Gegeben ist die Funktion <math>f:\vec{x}\mapsto \ln\left(\frac{4}{x} -1\right)</math> mit dem maximalen Definitionsbereich D<sub>f</sub> = ]0;4[. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
+Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} </math> mit der maximalen Definitionsmenge D<sub>k</sub> und k <math>\in </math> IR. G<sub>k</sub> bezeichnet den Graphen von f<sub>k</sub>.
-a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von D<sub>f</sub>.
+a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge D<sub>k</sub>. Untersuchen Sie für k <math>\neq </math> 0 das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math>. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
 :{{Lösung versteckt|
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-b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
+b) Zeigen Sie, dass gilt: <math>f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } </math>.
 :{{Lösung versteckt|
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-c) Zeigen Sie, dass G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zu Z(2|0) ist.
+c) Skizzieren Sie G<sub>-1</sub> und G<sub>1</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
 :{{Lösung versteckt|
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-d) Berechnen Sie <math>f (0,5)</math>. Zeichnen Sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Zeichnen Sie auch die Tangente im Symmetriezentrum ein (Ursprung des Koordinatensystems in der Blattmitte).
+d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von G<sub>k</sub> für <math>k \to -\infty</math> und <math>k \to 0</math> jeweils verändert.
 :{{Lösung versteckt|
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+Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.
-f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird.
-−
-−
-e) Zeigen Sie, dass gilt: <math>g(x) = 4 - \frac{4e^{x} }{1+e^{x} }</math>. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein.
 :{{Lösung versteckt|
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 ;Aufgabe 2
-Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander.
+Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>.
-Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen.
+Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
 :{{Lösung versteckt|
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-b) Berechnen Sie L auf dm genau.
+Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
 :{{Lösung versteckt|

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 <tr><td  width="800px" valign="top">
-<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006'''</big></center>
+<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004'''</big></center>
 <center><big>'''Infinitesimalrechnung II'''</big></center>
-<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=ff574c530ac05ed359667c29b75a15ff '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern''']  -  [[]]</center>
+<center> [http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=3b6f5b35e5627e5c952006db5cc4aa9d'''Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern''']
-<center>Erarbeitet von Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner</center>
 </td></tr></table></center>

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−	~~Isabell~~, Ann Christin, ~~Johanna~~	+	<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
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		+	<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
		+	<tr><td width="800px" valign="top">
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		+	<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006'''</big></center>
		+	<center><big>'''Infinitesimalrechnung II'''</big></center>
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		+	<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=ff574c530ac05ed359667c29b75a15ff '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern'''] - [[]]</center>
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		+	<center>Erarbeitet von Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner</center>
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		+	</td></tr></table></center>
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		+	</div>
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		+	<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
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		+	<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
		+	<tr><td width="800px" valign="top">
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		+	;Aufgabe 1
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		+	Gegeben ist die Funktion <math>f:\vec{x}\mapsto \ln\left(\frac{4}{x} -1\right)</math> mit dem maximalen Definitionsbereich D<sub>f</sub> = ]0;4[. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
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		+	a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von D<sub>f</sub>.
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		+	:{{Lösung versteckt\|
		+	[[Bild]]
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		+	}}
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		+	b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.
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		+	:{{Lösung versteckt\|
		+	[[Bild]]
		+	}}
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		+	c) Zeigen Sie, dass G<sub>f</sub> punktsymmetrisch zu Z(2\|0) ist.
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		+	:{{Lösung versteckt\|
		+	[[Bild:]]
		+	}}
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		+
		+	d) Berechnen Sie <math>f (0,5)</math>. Zeichnen Sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Zeichnen Sie auch die Tangente im Symmetriezentrum ein (Ursprung des Koordinatensystems in der Blattmitte).
		+
		+	:{{Lösung versteckt\|
		+	[[Bild:]]
		+	}}
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		+
		+	f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird.
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		+	e) Zeigen Sie, dass gilt: <math>g(x) = 4 - \frac{4e^{x} }{1+e^{x} }</math>. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein.
		+
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		+	[[Bild:]]
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		+
		+	<ggb_applet width="612" height="450" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
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		+	<tr><td width="800px" valign="top">
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		+	;Aufgabe 2
		+
		+	Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander.
		+
		+	Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen.
		+
		+
		+	Dazu betrachte man die gezeichnete Figur. <math>l(\alpha )</math> ist die Maßzahl der in Meter angegebenen Länge der Strecke [AB] und definiert für 0° < <math>\alpha</math> < 90° die Funktion <math>l</math>.
		+
		+
		+	a) Geben Sie an, welche Bedeutung die Maßzahl der gesuchten Länge für die Funktion <math>l</math> hat. Zeigen Sie: <math>l(\alpha ) = \frac{2}{\sin(\alpha ) } + \frac{4}{\cos(\alpha )} </math>.
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		+	[[Bild:]]
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		+	b) Berechnen Sie L auf dm genau.
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