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Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-07T20:30:01Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr2.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />

</popup> </div>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-07T20:28:53Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben und um 4 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr2.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />

</popup> </div>

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<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Quellen

2013-11-07T20:26:56Z

Renner Lisa:

''Literatur:'' <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
''Lebenslauf''<br />
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage <br />
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk in

Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage <br />
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage <br />
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage<br />
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage<br />
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage<br />
<br /><br />
|}
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt
|}
<br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-06T20:46:29Z

Renner Lisa:

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-06T15:38:33Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr2.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c) y=37,0°C; <br />
37=f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>;<br />
</popup> </div>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links

2013-11-04T17:58:38Z

Renner Lisa:

[http://www.abiturloesung.de/|Abituraufgaben mit Lösungen]
[http://www.serlo.org/math/wiki/article/view/e-funktion|e-Funktion Veranschaulichung] <br /><br />
'''Abituraufgabe 2012 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben ist die in R definierte Funktion g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>.<br /> <br />
''Teilaufgabe Teil 1 2a (5 BE)''<br />
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte
Tangente hat.<br />
''Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)''<br />
Geben Sie das Verhalten von g für x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math> und x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math> an.
<br /><br /><br />

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 2a''' <br />
1. Ableitung bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> ''Produktregel:'' <br />
g'(x) = 1 <math>\cdot</math> e<sup>-2x</sup> + x<math>\cdot</math>(-2)<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup> ; <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math>(1+(-2x); <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math> (1-2x);<br />
<br /> 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen (Extremwerte der Funktion g(x))<br />
e<sup>-2x</sup> ist immer größer 0. ''Daher:'' <br />
1-2x = 0; 2x = 1; '''x = 0,5;''' <br /><br />
3. Koordinaten des Punktes der waagrechten Tangente bestimmen. <br />
g(0,5) = 0,5 <math>\cdot</math> e<sup>-2 <math>\cdot</math> 0,5</sup>;
<br /> g(0,5)= <math>\frac 1 {2e}</math>
<br /><br /> '''P(0,5/ <math>\frac 1 {2e}</math>);'''
<br />
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2b">
<br />'''Teilaufgabe 1 2b''' <br />
Grenzwerte bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math>: '''lim g(x)= - <math>\infty</math>;'''
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math>: '''lim g(x)= 0;'''
</popup></div>
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
'''Abituraufgabe 2013 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben sind die in R definierten Funktionen: g(x)=e<sup>-x</sup> und h(x)=x<sup>3</sup>;<br /><br />

''Teilaufgabe Teil 1 3a (2 BE)''<br />
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen g und h genau einen Schnittpunkt haben. <br />
''Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)''<br />
Bestimmen Sie einen Nährungswert x<sub>1</sub> für die x-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in R
definierte Funktion d(x)=g(x)-h(x) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x<sub>0</sub>=1 durchführen.

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 3a''' <br />
[[Datei:Lösung_abiaufgabe_13agr.jpg]]
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3b">
<br />'''Teilaufgabe 1 3b''' <br />
Newtonsche Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen. <br />
x<sub>0</sub> = 1; →Startwert <br />
x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub> - <math>\frac {e^{-x} -x^3} {-e^x - 3x</math> = <br /><br />
= 1 - <math>\frac {e^{-1} - 1^3} {-e^{-1} - 3 = <br /> <br />
= 0{,}812
</popup></div>

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-04T17:53:07Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr2.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c) y=37,0°C; <br />
37=f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>;<br />
</popup> </div>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-04T17:52:21Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr2.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c) y=37,0°C; <br />
37=f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>;<br />
</popup> </div>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Datei:Lösung weiterfAufg lisaRegr2.jpg

2013-11-04T17:51:17Z

Renner Lisa: {{Information |Beschreibung = Lösung weiterführende Aufgaben 2 |Quelle = selbst erstellt |Urheber = Lisa Renner |Datum = 04.11.2013 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Lösung weiterführende Aufgaben 2
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Lisa Renner
|Datum = 04.11.2013
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|Andere Versionen =
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}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Leonhard Euler/Quellen

2013-11-04T17:47:45Z

Renner Lisa:

''Literatur:'' <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
''Lebenslauf''
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage <br />
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk in

Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage <br />
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage <br />
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage<br />
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage<br />
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage<br />
<br /><br />
|}
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt
|}
<br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Quellen

2013-11-04T17:47:31Z

Renner Lisa:

''Literatur:''' <br />
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
''Lebenslauf''
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage <br />
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk in

Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage <br />
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage <br />
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage<br />
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage<br />
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage<br />
<br /><br />
|}
{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt
|}
<br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit

2013-11-04T17:46:51Z

Renner Lisa:

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
'''Leonhard Euler''' ist ein gutes Beispiel dafür, dass vielen Menschen nicht bewusst ist, welche Leistungen von einem Mathematiker<br />
vollbracht worden sind. Sie hören den Namen einmal im Unterricht und lernen zu ihm ein Thema, dass durch diesen begründet wurde. <br />
So ist es auch bei Euler und seiner natürlichen Exponentialfunktion. Es ist doch sehr interessant zu sehen, was wirklich hinter <br />
solchen Personen steckt und dass diese ihre Bekanntheit, nicht durch „Nichtstun“ bekommen, sondern <br />
durch viel Arbeit und Fleiß. <br />
''Deswegen habe ich das Seminar und vor Allem das Thema gewählt.''

|}

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Quellen

2013-11-04T17:44:54Z

Renner Lisa:

'''Literatur:''' <br />
''Lebenslauf''
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage <br />
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk in

Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage <br />
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage <br />
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage<br />
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage<br />
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage<br />
<br /><br />
'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt
<br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Quellen

2013-11-04T17:44:23Z

Renner Lisa:

'''Literatur:''' <br />
''Lebenslauf''
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage <br />
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk in

Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage <br />
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage<br />
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage<br />
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage<br />
<br /><br />
'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt
<br /><br /><br /><br /><br />
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[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
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Leonhard Euler/Quellen

2013-11-04T17:43:13Z

Renner Lisa:

'''Literatur:''' <br />
''Lebenslauf''
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk in

Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage

'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt

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[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Quellen

2013-11-04T17:42:56Z

Renner Lisa:

'''Literatur:''' <br />
''Lebenslauf''
Bell, Eric T. Die großen Mathematiker, Düsseldorf Wien 1967, 1. Auflage
<br />
Fellmann, Emil A. Leonhard Euler- Ein Essay über Leben und Werk
in
Leonhard Euler (1707-1783)- Beiträge zu Leben und Werk, Gedenkband des Kantons Basel-Stadt, Basel 1983, 1. Auflage
<br />
Maor, Eli Die Zahl e- Geschichte und Geschichten, Berlin 1996, 1. Auflage
<br />
Meschkowski, Herbert Denkweisen großer Mathematiker- Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Braunschweig 1990, 2. Auflage
<br />
Prof. Dr. Wußing, Hans 6000 Jahre Mathematik, Berlin Heidelberg 2009, 1. Auflage
<br />
Sonar, Thomas 3000 Jahre Analysis, Berlin Heidelberg 2011, 1. Auflage

'''Aufgabenbereich:''' <br />

* Abituraufgaben: http://www.abiturloesung.de
* Lösungen selbst erstellt
* Einstiegsaufgaben und Weiterführende Aufgaben ebenfalls selbst erstellt

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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links

2013-11-04T17:37:18Z

Renner Lisa:

[http://www.abiturloesung.de/|Abituraufgaben mit Lösungen]
[http://www.serlo.org/math/wiki/article/view/e-funktion|e-Funktion Veranschaulichung] <br /><br />
'''Abituraufgabe 2012 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben ist die in R definierte Funktion g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>.<br /> <br />
''Teilaufgabe Teil 1 2a (5 BE)''<br />
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte
Tangente hat.<br />
''Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)''<br />
Geben Sie das Verhalten von g für x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math> und x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math> an.
<br /><br /><br />

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 2a''' <br />
1. Ableitung bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> ''Produktregel:'' <br />
g'(x) = 1 <math>\cdot</math> e<sup>-2x</sup> + x<math>\cdot</math>(-2)<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup> ; <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math>(1+(-2x); <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math> (1-2x);<br />
<br /> 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen (Extremwerte der Funktion g(x))<br />
e<sup>-2x</sup> ist immer größer 0. ''Daher:'' <br />
1-2x = 0; 2x = 1; '''x = 0,5;''' <br /><br />
3. Koordinaten des Punktes der waagrechten Tangente bestimmen. <br />
g(0,5) = 0,5 <math>\cdot</math> e<sup>-2 <math>\cdot</math> 0,5</sup>;
<br /> g(0,5)= <math>\frac 1 {2e}</math>
<br /><br /> '''P(0,5/ <math>\frac 1 {2e}</math>);'''
<br />
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2b">
<br />'''Teilaufgabe 1 2b''' <br />
Grenzwerte bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math>: '''lim g(x)= - <math>\infty</math>;'''
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math>: '''lim g(x)= 0;'''
</popup></div>
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
'''Abituraufgabe 2013 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben sind die in R definierten Funktionen: g(x)=e<sup>-x</sup> und h(x)=x<sup>3</sup>;<br /><br />

''Teilaufgabe Teil 1 3a (2 BE)''<br />
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen g und h genau einen Schnittpunkt haben. <br />
''Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)''<br />
Bestimmen Sie einen Nährungswert x<sub>1</sub> für die x-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in R
definierte Funktion d(x)=g(x)-h(x) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x<sub>0</sub>=1 durchführen.

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 3a''' <br />
[[Datei:Lösung_abiaufgabe_13agr.jpg]]
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3b">
<br />'''Teilaufgabe 1 3b''' <br />
Newtonsche Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen. <br />
x<sub>0</sub> = 1; →Startwert <br />
x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub> - <math>\frac {e^{-x} -x^3} {-e^x - 3x</math> = <br /><br />
= 1 - <math>\frac {e^{-1} - 1^3} {-e^{-1} - 3 = <br /> <br />
= 0{,}812
</popup></div>

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Datei:Lösung abiaufgabe 13agr.jpg

2013-11-04T17:36:33Z

Renner Lisa: {{Information |Beschreibung = Lösung zur Abituraufgabe Lisare |Quelle = selbst erstellt |Urheber = Lisa renner |Datum = 04.11.2013 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Lösung zur Abituraufgabe Lisare
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Lisa renner
|Datum = 04.11.2013
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-04T17:34:44Z

Renner Lisa: GraphEingefügt

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a)[[Datei:Lösung_weiterfAufg_lisaRegr.jpg]] <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c) y=37,0°C; <br />
37=f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>;<br />
</popup> </div>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Datei:Lösung weiterfAufg lisaRegr.jpg

2013-11-04T17:33:54Z

Renner Lisa: {{Information |Beschreibung = Lösung_weiterfAufg_lisaRe |Quelle = selbst erstellt |Urheber = Lisa Renner |Datum = 04.11.2013 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Lösung_weiterfAufg_lisaRe
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Lisa Renner
|Datum = 04.11.2013
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== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Datei:Lösung weiterfAufg lisaRe.jpg

2013-11-04T17:31:53Z

Renner Lisa: {{Information |Beschreibung = Lösung_weiterführende Aufgaben_LisaRenner |Quelle = selbst erstellt |Urheber = Lisa Renner |Datum = 04.11.2013 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
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|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Lisa Renner
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}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T14:27:46Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a) GRAPH <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c) y=37,0°C; <br />
37=f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>;<br />
</popup> </div>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T14:27:08Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a) GRAPH <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c) y=37,0°C; <br />
37=f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>;<br />

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T14:23:18Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a) GRAPH <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:'''t=3<math>\frac {1} {3}</math>'''
f(3<math>\frac {1} {3}</math>)='''37,73''';<br />
c)

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T14:19:08Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 4.">
a) GRAPH <br />
b)Höchstemperatur: Hochpunkt; f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>; <br />
Ableitung: f'(t)= -0,3t <math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>+e<sup>-0,3t</sup>= <br />
=e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1); <br />
''Nullstellen der Ableitung bestimmen'': f'(t)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup><math>\cdot</math>(-0,3t+1)=0; <br />
e<sup>-0,3t</sup> wird nie Null. <br />
-0,3t+1=0; <br /> 0,3t=1;<br />
NS:t=3<math>\frac {1} {3}</math>

<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T14:01:58Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Skizziere den Graphen. <br />
b) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
c) Wann fällt die Körpertemperatur von Horst unter 37°C? ''(Berechnung nötig!)''

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:59:20Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C. <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<br />t=Zeit in h; f(t)=Körpertemperatur in °C; <br />
a) Berechne seine Höchsttemperatur innerhalb der ersten zwei Tage. <br />
b)

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:56:02Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br /><br /><br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C! <br />
Horst ist im Krankenhaus mit erhöhter Temperatur. Der Arzt beobachtet Horsts Temperatur 48 Stunden lang und hält diese in einem Diagramm fest.
<br />Seine Erkenntnisse lassen sich mit folgendem Funktionsterm beschreiben: f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:52:09Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?
<br />
4. Die ideale Körpertemperatur vom Menschen liegt bei 36,5°C! <br />
f(t)= 36,5+t<math>\cdot</math>e<sup>-0,3t</sup>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links

2013-11-03T13:41:55Z

Renner Lisa:

[http://www.abiturloesung.de/|Abituraufgaben mit Lösungen]
[http://www.serlo.org/math/wiki/article/view/e-funktion|e-Funktion Veranschaulichung] <br /><br />
'''Abituraufgabe 2012 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben ist die in R definierte Funktion g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>.<br /> <br />
''Teilaufgabe Teil 1 2a (5 BE)''<br />
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte
Tangente hat.<br />
''Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)''<br />
Geben Sie das Verhalten von g für x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math> und x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math> an.
<br /><br /><br />

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 2a''' <br />
1. Ableitung bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> ''Produktregel:'' <br />
g'(x) = 1 <math>\cdot</math> e<sup>-2x</sup> + x<math>\cdot</math>(-2)<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup> ; <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math>(1+(-2x); <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math> (1-2x);<br />
<br /> 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen (Extremwerte der Funktion g(x))<br />
e<sup>-2x</sup> ist immer größer 0. ''Daher:'' <br />
1-2x = 0; 2x = 1; '''x = 0,5;''' <br /><br />
3. Koordinaten des Punktes der waagrechten Tangente bestimmen. <br />
g(0,5) = 0,5 <math>\cdot</math> e<sup>-2 <math>\cdot</math> 0,5</sup>;
<br /> g(0,5)= <math>\frac 1 {2e}</math>
<br /><br /> '''P(0,5/ <math>\frac 1 {2e}</math>);'''
<br />
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2b">
<br />'''Teilaufgabe 1 2b''' <br />
Grenzwerte bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math>: '''lim g(x)= - <math>\infty</math>;'''
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math>: '''lim g(x)= 0;'''
</popup></div>
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
'''Abituraufgabe 2013 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben sind die in R definierten Funktionen: g(x)=e<sup>-x</sup> und h(x)=x<sup>3</sup>;<br /><br />

''Teilaufgabe Teil 1 3a (2 BE)''<br />
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen g und h genau einen Schnittpunkt haben. <br />
''Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)''<br />
Bestimmen Sie einen Nährungswert x<sub>1</sub> für die x-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in R
definierte Funktion d(x)=g(x)-h(x) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x<sub>0</sub>=1 durchführen.

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 3a''' <br />
[[Datei:Lösung Abi13a liRe.jpg]]
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3b">
<br />'''Teilaufgabe 1 3b''' <br />
Newtonsche Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen. <br />
x<sub>0</sub> = 1; →Startwert <br />
x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub> - <math>\frac {e^{-x} -x^3} {-e^x - 3x</math> = <br /><br />
= 1 - <math>\frac {e^{-1} - 1^3} {-e^{-1} - 3 = <br /> <br />
= 0{,}812
</popup></div>

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links

2013-11-03T13:36:42Z

Renner Lisa:

'''Abituraufgabe 2012 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben ist die in R definierte Funktion g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>.<br /> <br />
''Teilaufgabe Teil 1 2a (5 BE)''<br />
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte
Tangente hat.<br />
''Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)''<br />
Geben Sie das Verhalten von g für x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math> und x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math> an.
<br /><br /><br />

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 2a''' <br />
1. Ableitung bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> ''Produktregel:'' <br />
g'(x) = 1 <math>\cdot</math> e<sup>-2x</sup> + x<math>\cdot</math>(-2)<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup> ; <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math>(1+(-2x); <br />
g'(x) = e<sup>-2x</sup> <math>\cdot</math> (1-2x);<br />
<br /> 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen (Extremwerte der Funktion g(x))<br />
e<sup>-2x</sup> ist immer größer 0. ''Daher:'' <br />
1-2x = 0; 2x = 1; '''x = 0,5;''' <br /><br />
3. Koordinaten des Punktes der waagrechten Tangente bestimmen. <br />
g(0,5) = 0,5 <math>\cdot</math> e<sup>-2 <math>\cdot</math> 0,5</sup>;
<br /> g(0,5)= <math>\frac 1 {2e}</math>
<br /><br /> '''P(0,5/ <math>\frac 1 {2e}</math>);'''
<br />
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 2b">
<br />'''Teilaufgabe 1 2b''' <br />
Grenzwerte bilden: g(x) = x<math>\cdot</math>e<sup>-2x</sup>
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> - <math>\infty</math>: '''lim g(x)= - <math>\infty</math>;'''
<br /> - Grenzwert x <math>\rightarrow</math> + <math>\infty</math>: '''lim g(x)= 0;'''
</popup></div>
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
'''Abituraufgabe 2013 - Infinitesimalrechnung '''
<br />
Gegeben sind die in R definierten Funktionen: g(x)=e<sup>-x</sup> und h(x)=x<sup>3</sup>;<br /><br />

''Teilaufgabe Teil 1 3a (2 BE)''<br />
Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, dass die Graphen g und h genau einen Schnittpunkt haben. <br />
''Teilaufgabe Teil 1 3b (4 BE)''<br />
Bestimmen Sie einen Nährungswert x<sub>1</sub> für die x-Koordinate dieses Schnittpunkts, indem Sie für die in R
definierte Funktion d(x)=g(x)-h(x) den ersten Schritt des Newton-Verfahrens mit dem Startwert x<sub>0</sub>=1 durchführen.

<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3a">
<br /> '''Teilaufgabe 1 3a''' <br />
[[Datei:Lösung Abi13a liRe.jpg]]
</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung Teilaufgabe 1 3b">
<br />'''Teilaufgabe 1 3b''' <br />
Newtonsche Iterationsformel zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen. <br />
x<sub>0</sub> = 1; →Startwert <br />
x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub> - <math>\frac {e^{-x} -x^3} {-e^x - 3x</math> = <br /><br />
= 1 - <math>\frac {e^{-1} - 1^3} {-e^{-1} - 3 = <br /> <br />
= 0{,}812
</popup></div>

<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Datei:Lösung Abi13a liRe.jpg

2013-11-03T13:36:01Z

Renner Lisa: {{Information |Beschreibung = Abilösung 1 3a_ Lisa Renner |Quelle = selbst erstellt |Urheber = Lisa renner |Datum = 03.11.13 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Abilösung 1 3a_ Lisa Renner
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Lisa renner
|Datum = 03.11.13
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben

2013-11-03T13:32:18Z

Renner Lisa:

===='''Einstiegsaufgaben zur natürlichen Exponentialfunktion'''====

<br />'''Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.'''

f(x)=5e<sup>x</sup> + x
<popup name="Lösung">
-''Ableitung:'' f'(x)=5e<sup>x</sup> + 1;
<br>-''Steigung:'' f'(1)=5e+1;
</popup>

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig:
<br />'''''WIEDERHOLUNG:'''''
<br />-''Bemerkung:'' a,b E |R<sup>+</sup> \ {1} und x,y E |R
<br />1. a<sup>x</sup><math>\cdot</math>b<sup>y</sup> = a<sup>x+y</sup>
<br />2. <math>\frac{a^x} {a^y} </math> = a<sup>x-y</sup>
<br />3. a<sup>x</sup> <math>\cdot</math> b<sup>x</sup> = (a<math>\cdot</math>b)<sup>x</sup>
<br />4. <math>\frac{a^x} {a^x} </math> = (<math>\frac a b</math>)<sup>x</sup>
<br />5. (a<sup>x</sup>)<sup>y</sup> = a<sup>x<math>\cdot</math>y</sup>
|}

<br /> '''Differenziere folgende Funktionsterme!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx
<br /> 3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>
<br /> 4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>
<br />
<popup name="Lösung">
1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>; Kettenregel: f(x)=u(v(x))→f'(x)=u'(v(x))<math>\cdot</math> v'(x)<br />
f'(x)=e<sup>3x-8</sup> <math>\cdot</math> 3 =''' 3e<sup>3x-8</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx; Kettenregel (s.o.)und Produktregel: f(x)=u(x)<math>\cdot</math>v(x) →f'(x)=u'(x)<math>\cdot</math>v(x)+u(x)<math>\cdot</math>v'(x) <br />
f'(x)=e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> (-sinx)<math>\cdot</math>sinx+e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>cosx= <br />
='''e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>(-(sinx)<sup>2</sup>+cosx)'''<br /><br />
3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>; Kettenregel<br />
f'(x)=e<sup>-x</sup><math>\cdot</math>(-1)='''-e<sup>-x</sup>'''<br /><br />
4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>; Produktregel <br />
f'(x)= 2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+(x<sup>2</sup>-4)<math>\cdot</math>e<sup>x</sup><math>\cdot</math>1=<br />
=2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+x<sup>2</sup><math>\cdot</math>e<sup>x</sup>-4e<sup>x</sup>=<br />
='''e<sup>x</sup>(2x+x<sup>2</sup>-4)'''
</popup>

<br /> '''Finde die Stammfunktion zu den beiden gegebenen Funktionstermen!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup><br />
<popup name="Lösung">
''Zur Erinnerung:'' F'(x)=f(x); <br />
1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>; <br />
'''F(x)=2,5e<sup>2x</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup>; <br />
'''F(x)=1,5e<sup>2x+1</sup>'''

</popup>

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:27:56Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;
<br /><br />→ Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br /><br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | -ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; | /<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:26:53Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>; → Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br /> <br /><br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; |-ln1000 <br /> <br /><br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; |/<math>\frac {16324} {217389}</math> <br /> <br /><br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
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[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:25:58Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>; → Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t; |-ln1000 <br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t;|/<math>\frac {16324} {217389}</math> <br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:25:07Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>; → Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x <br />
ln5000 = ln(1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>) <br />
ln5000 = ln1000 + <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>; |-ln1000 <br />
ln(<math>\frac {5000} {1000}</math> = <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>;|/<math>\frac {16324} {217389}</math> <br />
'''t = 21,4 Jahre'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:20:02Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen. <br />
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren? <br />
b) Wann hat sein Schwarm eine Größe von 5000 Fischen erreicht?

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische''' <br /><br />
b) 5000 = 1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup>; → Zur Auflösung muss logarithmiert werden. <br />
ln(a<math>\cdot</math>b)=lna+lnb; lne<sup>x</sup>=x
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:15:31Z

Renner Lisa:

1. Gebe den Funktionsterm der Funktion f(x) an, wenn...
<br />
* ... die e-Funktion um 5 Längeneinheiten nach oben verschoben wird und um 4 Längeneinheiten nach rechts.
* ... die e-Funktion um 2 Längeneinheiten nach rechts verschoben wird und an der x-Achse gespiegelt wird.
* ... die e-Funktion um den Faktor 2 parallel zur x-Achse gestaucht wird.
<br />
2. Wie sieht der Graph der e-Funktion aus, wenn gilt: f(x)=-e<sup>-x</sup> + 3?
<br /><br />
3.Fische vermehren sich in einem Biotop nach folgendem Funktionsterm: <br />
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
n<sub>0</sub>= Anfangswert; t=Zeit in Jahren <br />
Der Fischzüchter begann seine Zucht mit 1000 Fischen.
a) Wie groß ist der Schwarm nach 4,5 Jahren?

<div style="float:left"><popup name="Lösung 1.">

* Verschiebung um 5 Längeneinheiten nach oben: e<sup>x</sup> wird e<sup>x</sup> + 5;
Verschiebung um 4 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-4</sup>;
<br /> '''e<sup>x</sup> wird zu: e<sup>x-4</sup>+5;'''

* Verschiebung um 2 Längeneinheiten nach rechts: e<sup>x</sup> wird e<sup>x-2</sup>;
Spiegelung an der x-Achse:<sub> e</sub><sup>x</sup> wird -e<sup>x</sup>;
<br />'''<sup>e<sup>x</sup> wird zu -e<sup>x-2</sup>;'''

* Stauchung parallel zur x-Achse um den Faktor 2: '''e<sup>x</sup> wird zu e<sup>2x</sup>;'''
<br />
</popup></div>

<div style="float:left"><popup name="Lösung 2.">
* Da x hier durch -x ersetzt wird, wird der Graph der e-Funktion an der y-Achse gespiegelt. Außerdem wird durch die Addition von 3 der Graph
parallel zur y-Achse um 3 Einheiten nach oben verschoben. <br />
[[ File:Lösung2_weiterführendeAufgaben.jpg]]

</popup></div>
<div style="float:left"><popup name="Lösung 3.">
f(x)= n<sub>0</sub> <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>t</sup> <br />
a)Anfangswert: n<sub>0</sub>=1000 Fische; t=4,5 Jahre
f(x)=1000 <math>\cdot</math> e^<sup> <math>\frac {16324} {217389}</math> <math>\cdot</math>4,5</sup> = '''1402 Fische'''
</popup></div>
<br /><br />

<br />
<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:11:55Z

Renner Lisa:

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T13:03:41Z

Renner Lisa:

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T12:37:20Z

Renner Lisa:

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T12:36:55Z

Renner Lisa:

Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben

2013-11-03T12:36:18Z

Renner Lisa:

Datei:Lösung2 weiterführendeAufgaben.jpg

2013-11-03T12:31:30Z

Renner Lisa: {{Information |Beschreibung = Lösung zur 2. Aufgabe_LisaRenner |Quelle = selbst erstellt |Urheber = Lisa Renner |Datum = 03.11.2013 |Genehmigung = |Andere Versionen = |Anmerkungen = }}

== Beschreibung ==
{{Information_ohne_UploadWizard
|Beschreibung = Lösung zur 2. Aufgabe_LisaRenner
|Quelle = selbst erstellt
|Urheber = Lisa Renner
|Datum = 03.11.2013
|Genehmigung =
|Andere Versionen =
|Anmerkungen =
}}
== Lizenz ==
{{Bild-CC-by-sa/3.0/de}}

Benutzer:Renner Lisa

2013-11-03T12:26:47Z

Renner Lisa:

[[Benutzer:Renner Lisa/Leonhard Euler/Seite 1|Leonhard Euler]]

<center>
<div style="padding: 10px; background: #DEC; border: 1px solid #885; font-family: Trebuchet MS, sans-serif; font-size: 95%;">
{| style="text-align:center; border: 1px solid #885; background-color:#DEC"
|- padding:1em;padding-top:0.5em;"
! style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif; color: #885; font-size: large; line-height: 1.3em;" colspan="2"|<u>''Leonhard Euler''</u>

<font size=#2> Leonhard Euler: [[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]] - [[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]] - [[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]] - [[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]

<br /> <br /> Aufgaben: [[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]] - [[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]] - [[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
|-
| style="text-align:left; padding: 8px; background-color:#DEC"|<br /><br />
Diese Seite wurde im Rahmen meiner Seminararbeit erstellt, um Euch die natürliche Exponentialfunktion nach Euler näher zu bringen.

[[File:Leonhard Euler 2.jpg|200px|rechts|Leonhard Euler]]
<ggb_applet height="500" width="600"
filename="Exponentialfunktion lisaRenner.ggb" />

|}

Benutzer:Renner Lisa

2013-11-03T12:26:30Z

Renner Lisa:

[[Benutzer:Renner Lisa/Leonhard Euler/Seite 1|Leonhard Euler]]

<center>
<div style="padding: 10px; background: #DEC; border: 1px solid #885; font-family: Trebuchet MS, sans-serif; font-size: 95%;">
{| style="text-align:center; border: 1px solid #885; background-color:#DEC"
|- padding:1em;padding-top:0.5em;"
! style="font-family: Trebuchet MS, sans-serif; color: #885; font-size: large; line-height: 1.3em;" colspan="2"|<u>''Leonhard Euler''</u>

<font size=#2> Leonhard Euler: [[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]] - [[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]] - [[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]] - [[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]

<br /> <br /> Aufgaben: [[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]] - [[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]] - [[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
|-
| style="text-align:left; padding: 8px; background-color:#DEC"|<br /><br />
Diese Seite wurde im Rahmen meiner Seminararbeit erstellt, um Euch die natürliche Exponentialfunktion nach Euler näher zu bringen.

[[File:Leonhard Euler 2.jpg|250px|rechts|Leonhard Euler]]
<ggb_applet height="500" width="600"
filename="Exponentialfunktion lisaRenner.ggb" />

|}

Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben

2013-11-03T12:24:35Z

Renner Lisa:

===='''Einstiegsaufgaben zur natürlichen Exponentialfunktion'''====

<br />'''Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.'''

f(x)=5e<sup>x</sup> + x
<popup name="Lösung">
-''Ableitung:'' f'(x)=5e<sup>x</sup> + 1;
<br>-''Steigung:'' f'(1)=5e+1;
</popup>
<br />[http://www.abiturloesung.de/ Abituraufgaben mit Lösungen zur Vorbereitung]
<br />[http://www.serlo.org/math/wiki/article/view/e-funktion/ weiteres Lernmaterial zur Vorbereitung]

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig:
<br />'''''WIEDERHOLUNG:'''''
<br />-''Bemerkung:'' a,b E |R<sup>+</sup> \ {1} und x,y E |R
<br />1. a<sup>x</sup><math>\cdot</math>b<sup>y</sup> = a<sup>x+y</sup>
<br />2. <math>\frac{a^x} {a^y} </math> = a<sup>x-y</sup>
<br />3. a<sup>x</sup> <math>\cdot</math> b<sup>x</sup> = (a<math>\cdot</math>b)<sup>x</sup>
<br />4. <math>\frac{a^x} {a^x} </math> = (<math>\frac a b</math>)<sup>x</sup>
<br />5. (a<sup>x</sup>)<sup>y</sup> = a<sup>x<math>\cdot</math>y</sup>
|}

<br /> '''Differenziere folgende Funktionsterme!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx
<br /> 3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>
<br /> 4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>
<br />
<popup name="Lösung">
1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>; Kettenregel: f(x)=u(v(x))→f'(x)=u'(v(x))<math>\cdot</math> v'(x)<br />
f'(x)=e<sup>3x-8</sup> <math>\cdot</math> 3 =''' 3e<sup>3x-8</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx; Kettenregel (s.o.)und Produktregel: f(x)=u(x)<math>\cdot</math>v(x) →f'(x)=u'(x)<math>\cdot</math>v(x)+u(x)<math>\cdot</math>v'(x) <br />
f'(x)=e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> (-sinx)<math>\cdot</math>sinx+e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>cosx= <br />
='''e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>(-(sinx)<sup>2</sup>+cosx)'''<br /><br />
3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>; Kettenregel<br />
f'(x)=e<sup>-x</sup><math>\cdot</math>(-1)='''-e<sup>-x</sup>'''<br /><br />
4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>; Produktregel <br />
f'(x)= 2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+(x<sup>2</sup>-4)<math>\cdot</math>e<sup>x</sup><math>\cdot</math>1=<br />
=2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+x<sup>2</sup><math>\cdot</math>e<sup>x</sup>-4e<sup>x</sup>=<br />
='''e<sup>x</sup>(2x+x<sup>2</sup>-4)'''
</popup>

<br /> '''Finde die Stammfunktion zu den beiden gegebenen Funktionstermen!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup><br />
<popup name="Lösung">
''Zur Erinnerung:'' F'(x)=f(x); <br />
1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>; <br />
'''F(x)=2,5e<sup>2x</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup>; <br />
'''F(x)=1,5e<sup>2x+1</sup>'''

</popup>

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben

2013-11-03T12:18:06Z

Renner Lisa:

===='''Einstiegsaufgaben zur natürlichen Exponentialfunktion'''====

<br />'''Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1.'''

f(x)=5e<sup>x</sup> + x
<popup name="Lösung">
-''Ableitung:'' f'(x)=5e<sup>x</sup> + 1;
<br>-''Steigung:'' f'(1)=5e+1;
</popup>
<br />[http://www.abiturloesung.de/ Abituraufgaben mit Lösungen zur Vorbereitung]
<br />[http://www.serlo.org/math/wiki/article/view/e-funktion/ weiteres Lernmaterial zur Vorbereitung]

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="2" style="border-left: 10px solid {{{RandLinks|#885}}}; margin-bottom: 0.4em; margin-left: auto; margin-right: auto; width: {{{Breite|100%}}}; background-color: {{{Hintergrund|#DEC}}}"
|-
|
Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig:
<br />'''''WIEDERHOLUNG:'''''
<br />-''Bemerkung:'' a,b E |R<sup>+</sup> \ {1} und x,y E |R
<br />1. a<sup>x</sup><math>\cdot</math>b<sup>y</sup> = a<sup>x+y</sup>
<br />2. <math>\frac{a^x} {a^y} </math> = a<sup>x-y</sup>
<br />3. a<sup>x</sup> <math>\cdot</math> b<sup>x</sup> = (a<math>\cdot</math>b)<sup>x</sup>
<br />4. <math>\frac{a^x} {a^x} </math> = (<math>\frac a b</math>)<sup>x</sup>
<br />5. (a<sup>x</sup>)<sup>y</sup> = a<sup>x<math>\cdot</math>y</sup>
|}

<br /> '''Differenziere folgende Funktionsterme!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx
<br /> 3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>
<br /> 4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>
<br />
<popup name="Lösung">
1. f<sub>1</sub>(x)= e<sup>3x-8</sup>; Kettenregel: f(x)=u(v(x))→f'(x)=u'(v(x))<math>\cdot</math> v'(x)<br />
f'(x)=e<sup>3x-8</sup> <math>\cdot</math> 3 =''' 3e<sup>3x-8</sup>''' <br /><br />
2. f<sub>2</sub>(x)= e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> sinx; Kettenregel (s.o.)und Produktregel: f(x)=u(x)<math>\cdot</math>v(x) →f'(x)=u'(x)<math>\cdot</math>v(x)+u(x)<math>\cdot</math>v'(x) <br />
f'(x)=e<sup>cosx</sup> <math>\cdot</math> (-sinx)<math>\cdot</math>sinx+e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>cosx= <br />
='''e<sup>cosx</sup><math>\cdot</math>(-(sinx)<sup>2</sup>+cosx)'''<br /><br />
3. f<sub>3</sub>(x)= e<sup>-x</sup>; Kettenregel<br />
f'(x)=e<sup>-x</sup><math>\cdot</math>(-1)='''-e<sup>-x</sup>'''<br /><br />
4. f<sub>4</sub>(x)= (x<sup>2</sup>- 4)e<sup>x</sup>; Produktregel <br />
f'(x)= 2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+(x<sup>2</sup>-4)<math>\cdot</math>e<sup>x</sup><math>\cdot</math>1=<br />
=2x<math>\cdot</math>e<sup>x</sup>+x<sup>2</sup><math>\cdot</math>e<sup>x</sup>-4e<sup>x</sup>=<br />
='''e<sup>x</sup>(2x+x<sup>2</sup>-4)'''
</popup>

<br /> '''Finde die Stammfunktion zu den beiden gegebenen Funktionstermen!'''
<br /> 1. f<sub>1</sub>(x)= 5e<sup>2x</sup>
<br /> 2. f<sub>2</sub>(x)= 3e<sup>2x+1</sup>

<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
</div> </div>
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
</div> </div>

Leonhard Euler/Kurzbiographie

2013-11-03T11:55:05Z

Renner Lisa:

'''Leonhard Euler'''

[[File:Leonhard Euler.jpeg|450px|rechts|Leonhard Euler]]
{| <div style="padding:10px;background:#DEC; border:0px groove;">
|-

<div style="border: 1px solid #885; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #885;"></div>
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#F5F5DC; padding:7px;">
Kindheit <br />
* '''* 15. April 1707 in Basel'''
* Studium: Theologie mit dreizehn Jahren
</div>
<br /><br />
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #885;"></div>
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#F5F5DC; padding:7px;">
''1727-1741:'' Erste Petersburger Periode <br />
* 1727: Beginn seiner mathematischen Laufbahn durch Johann Bernoulli
* Preis der Pariser Akademie: Insgesamt 12x in seinem Leben
* Berufung an die Universität in St. Petersburg durch Daniel Bernoulli (1727)
* Erfolg vor allem in der Analysis
* 1734: Hochzeit, 13 Kinder von denen nur 5 überlebten
* 4 Jahre später: Verlust des rechten Auges
</div>
<br /><br />
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''1741-1766:'' Berliner Periode <br />
* Fachgebiete: Funktionentheorie, Differentialrechnung, Mechanik
*1766: zurück nach Sankt Petersburg wegen dem Fehlverhalten von Friedrich dem Großen
</div>
<br /><br />
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''1766-1783:'' Zweite Petersburger Periode <br />
* Fachgebiete: Algebra und Integralrechnung
* '''18.September 1783: Tod als Folge eines Schlaganfalles'''
</div>

|}

<br /><br /><br />
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[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
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[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
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[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
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Leonhard Euler/Kurzbiographie

2013-11-03T11:53:58Z

Renner Lisa:

'''Leonhard Euler'''

[[File:Leonhard Euler.jpeg|450px|rechts|Leonhard Euler]]
{| <div style="padding:10px;background:#DEC; border:0px groove;">
|-

<div style="border: 1px solid #885; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #885;"></div>
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#F5F5DC; padding:7px;">
Kindheit <br />
* '''* 15. April 1707 in Basel'''
* Studium: Theologie mit dreizehn Jahren
</div>
<br /><br />
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #885;"></div>
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#F5F5DC; padding:7px;">
''1727-1741:'' Erste Petersburger Periode <br />
* 1727: Beginn seiner mathematischen Laufbahn durch Johann Bernoulli
* Preis der Pariser Akademie: Insgesamt 12x in seinem Leben
* Berufung an die universität in St. Petersburg durch Daniel Bernoulli (1727)
* Erfolg vor allem in der Analysis
* 1734: Hochzeit, 13 Kinder von denen nur 5 überlebten
* 4 Jahre später: Verlust des rechten Auges
</div>
<br /><br />
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #885;"></div>
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''1741-1766:'' Berliner Periode <br />
* Fachgebiete: Funktionentheorie, Differentialrechnung, Mechanik
*1766: zurück nach Sankt Petersburg wegen dem Fehlverhalten von Friedrich dem Großen
</div>
<br /><br />
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #885;"></div>
<div style="border: 1px solid #885; background-color:#F5F5DC; padding:7px;">
''1766-1783:'' Zweite Petersburger Periode <br />
* Fachgebiete: Algebra und Integralrechnung
* '''18.September 1783: Tod als Folge eines Schlaganfalles'''
</div>

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<br /><br /><br />
<div style="float:left"><div style="border: 1px solid #808000; background-color:#808000; font-size:1px; height:8px; border-bottom:1px solid #808000;"></div>
<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#ABC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Kurzbiographie|Kurzbiographie]]
</div> </div>
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Wissenswertes|Wissenswertes]]
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<div style="border: 1px solid #808000; background-color:#F5F5DC; padding:30px;">
[[Leonhard Euler/Thema der Seminararbeit|Thema der Seminararbeit]]
</div> </div>
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[[Leonhard Euler/Quellen|Quellen]]
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[[Leonhard Euler/Einstiegsaufgaben|Einstiegsaufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Weiterführende Aufgaben|Weiterführende Aufgaben]]
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[[Leonhard Euler/Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links|Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links]]
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[[Benutzer: Renner Lisa|Startseite]]
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