Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen 1.Verschiebung nach oben/unten Problemstellung: Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt. Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt. Man kann also sagen, dass der Graph g   a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x   3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben. Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: g(x)=f(x)+a. Beispiel: f(x)=x3 f(1)=1 Verschiebung um 3 Einheiten nach oben → g(x)=f(x)+3 g(1)=f(1)+3 g(1)=1+3 g(1)=4 Merke: Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x)+a entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten). 2.Verschiebung nach rechts/links Problemstellung: Im untenstehenden Applet siehst du den Graphen f mit x→x3+2x2 und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst. Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauszufinden. Erklärung: Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b. Das bedeutet für den funktionellen Zusammenhang: g(x)=f(x-3). Beispiel: f(x)=x3+2x2 x=1 → f(1)=3 Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: g(x)=f(x-3) g(x)=(x-3)3+2(x-3)2 g(4)=(4-3)3+2(4-3)2 g(4)=1+2=3=f(1) Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. Merke: Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links). 3.Beispielaufagben Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist. Lösung anzeigen Lösung verstecken h(x)=f(x-2) -5 2 Einheiten nach rechts 5 Einheiten nach unten =(x-2)3+5(x-2)-5-5 =(x-2)(x2-4x+4)+5x-10-10 =x3-4x2+4x-2x²+8x-8+5x-20 =x3-6x2+17x-28 Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind. Ausgangsfunktion: a) b) c) Lösung anzeigen Lösung verstecken a) Verschiebung um 2 Einheiten nach oben: g(x)=f(x)+2=x3+2 b) Verschiebung um 2 Einheiten nach links: h(x)=f(x+2) h(x)=(x+2)3 h(x)=(x+2)(x2+4x+4) h(x)=x3+4x2+4x+2x2+8x+8 h(x)=x3+6x2+12x+8 c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten: j(x)=f(x-3)-4 j(x)=(x-3)3-4 j(x)=(x-3)(x2-6x+9)-4 j(x)=x3-6x2+9x-3x2+18x-27-4 j(x)=x3-9x2+27x-31 Aufgabe 3: Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. 1. In welche Richtung ist der Graph f(x)=3x4+3x2-2x+4 ist gegenüber dem Graphen g(x)=3x4+3x2-2x verschoben? nach oben nach unten nach links in positiver y-Richtung nach rechts 2. Um wie viele Einheiten ist der Graph g(x)=2x3+x2+4 gegenüber dem Graphen f(x)=2x3+x2-2 nach oben verschoben? 4 gar nicht 6 2 3. Wie lautet der Funktionsterm der Funktion, die ausgehend von der Funktion f(x)=x3+2x um 1 Einheit nach unten und 2 Einheiten nach links verschoben ist? g(x)=x3+2x-1 g(x)=x3+6x2+14x+11 g(x)=x3+2x-3 g(x)=(x+2)3+2(x+2)-1 g(x)=(x-2)3+2(x-2)-1 4. In welche Richtung ist die Funktion g(x)=(x+3)2+2 gegenüber der Funktion f(x)=x2+2 verschoben? nach links nach rechts in positiver y-Richtung in positiver x-Richtung in negativer x-Richtung in negativer y-Richtung nach oben nach unten Punkte: 0 / 0

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