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| − | = <span style="color: green">Terme und Variablen</span> =
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| − | ==<span style="color: green">Termbegriff </span> ==
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue"></span>'''<br />
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| − | [[Bild:bild_zug_einstiegsaufgabe.jpg]]<br /><br />Eine Klasse macht am Wandertag einen Ausflug in den Zoo mit dem Zug. Der Zug hat folgende Maße:<br />Lokomotive: 15,5 m ; Wagon jeweils 20,25 m.
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| − | * Wie lang ist der Zug (1 Lokomotive, 2 Wagons)?
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| − | * Wie lang ist der Zug mit 3, 5, 9, Wagons?
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| − | * Wie kannst du die verschiedenen Längen des Zuges am einfachsten berechnen?
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| − | <br />
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| − | <popup name="Lösung">
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| − | * Der Zug setzt sich zusammen aus 1 Lokomotive und 2 Wagons. Die Lokomotive ist 15,5 m lang und die 2 Wagons jeweils 20,25 m. Also ist die Länge des Zuges:<br /> 15,5 m + 20,25 m +20,25 m = 56 m
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| − | *
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| − | # Länge des Zuges mit 3 Wagons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 76,25 m
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| − | # Länge des Zuges mit 5 Wagons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 116,75 m
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| − | # Länge des Zuges mit 9 Wagons:<br />15,5 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m + 20,25 m = 197,75 m
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| − | * In den Rechnungen oben hat sich die Anzahl der Wagons verändert. Um möglichst schnell und einfach viele verschiedene Wagonsanzahlen auszurechnen, ist es sinnvoll sich zu überlegen, welche Zahlen sich verändern und welche nicht.<br />Die Lokomotive bleibt immer gleich, sie ist "fest". Die Anzahl der Wagons verändert sich, sie "variiert". Also kannst du diese Rechnung auch so schreiben: <math>15,5m + \Box*(20,25m)</math><br />und für <math> \Box</math> die verschiedenen Zahlen einsetzen.
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| − | </popup> </div>
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />Den oben verwendeten Rechenausdruck nennt man '''Term'''. Ein Term kann neben Zahlen auch Größen enthalten, die veränderbar sind. Diese Größen nennt man '''Variable''', zum Beispiel <math>\Box</math> oder Buchstaben wie a, b, c, n oder x, y, z. Sie halten den Platz für verschiedene Einsetzungen frei.</div>
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel 1:</span>'''T(n)=4•n (lies "T von n gleich vier mal n")<br />Dieser Term beschreibt alle Vielfachen von 4, wenn man für n der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt.
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| − | {| class="wikitable center"
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| − | ! n
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| − | ! 1
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| − | ! 2
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| − | ! 3
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| − | ! 4
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| − | ! 5
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| − | ! 6
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| − | |-
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| − | | T(n)
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| − | | T(1)=4•1=4
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| − | | T(2)=4•2=8
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| − | | T(3)
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| − | | T(4)
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| − | | T(5)
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| − | | T(6)
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| − | |}
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| − | <br />Vervollständige die Tabelle in deinem Heft.
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| − | <br /><popup name="Lösung">
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| − | {| class="wikitable "
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| − | ! n
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| − | ! 1
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| − | ! 2
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| − | ! 3
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| − | ! 4
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| − | ! 5
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| − | ! 6
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| − | |-
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| − | | T(n)
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| − | | T(1)=4•1=4
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| − | | T(2)=4•2=8
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| − | | T(3)=4•3=12
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| − | | T(4)=4•4=16
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| − | | T(5)=4•5=20
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| − | | T(6)=4•6=24
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| − | |}
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| − | </popup> </div>
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Beispiel 2:</span>'''T(x)=x<sup>2</sup> (lies "T von x gleich x hoch 2")
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| − | Dieser Term beschreibt alle Quadratzahlen, wenn man für x der Reihe nach alle natürlichen Zahlen einsetzt. Fertige wie in <span style="color: blue">Beispiel 1</span> eine Tabelle in deinem Heft an.
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| − | {| class="wikitable center"
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| − | ! x
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| − | ! 1
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| − | ! 2
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| − | ! 3
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| − | ! 4
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| − | ! 5
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| − | ! 6
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| − | |-
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| − | | T(x)
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| − | |
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| − | |}
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| − | <popup name="Lösung">
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| − | {| class="wikitable center"
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| − | ! x
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| − | ! 1
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| − | ! 2
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| − | ! 3
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| − | ! 4
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| − | ! 5
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| − | ! 6
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| − | |-
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| − | | T(x)
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| − | | T(1)=1<sup>2</sup>=1
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| − | | T(2)=2<sup>2</sup>=4
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| − | | T(3)=3<sup>2</sup>=9
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| − | | T(4)=4<sup>2</sup>=16
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| − | | T(5)=5<sup>2</sup>=25
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| − | | T(6)=6<sup>2</sup>=36
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| − | |}
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| − | </popup> </div>
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| − | <br /><br />
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| − | ==<span style="color: green">Rechenregeln </span> ==
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| − | <div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''<br />
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| − | Die Schreibweise T(n) bzw. T(x) beschreibt, dass n bzw. x die Variable ist.
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| − | Die Zahlen, die für die Variable in einen Term eingesetzt werden dürfen und zu einer sinnvollen Aussage führen, nennt man '''Definitionsmenge <math>D</math>'''. Setzt du für die Variable eine Zahl aus der Definitionsmenge <math>D</math> ein, so errechnest du den zugehörigen '''Termwert'''.
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| − | In der 6. Klasse hast du bereits gelernt, dass es verschiedene '''Termarten''' gibt. (Falls du dich nicht mehr erinnern kannst, klicke [[Facharbeit Lernpfad Terme/Terme und Variablen/Termarten|<u>'''hier'''</u>]])
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| − | <span style="color: orange">Vereinbarung:</span>
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| − | 1. Malpunkte zwischen einer Zahl (oder Variablen) und einer Variablen oder einer Klammer können weggelassen werden
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| − | : Beispiel:
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| − | :: 3•x=3x
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| − | :: a•b=ab
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| − | :: 5•(a<sup>2</sup>+b)=5(a<sup>2</sup>+b)
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| − | 2. '''Vorrangregel:''' Klammern zuerst, Potenz vor Punkt, Punkt vor Strich!
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| − | 3. <span style="color: red"><u>'''Achtung'''</u></span> : 3•7+2•a=3•7+2a
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| − | ::Den Malpunkt zwischen zwei '''Zahlen''' darfst du <span style="color: red"><u>nicht</u></span> weglassen!
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| − | </div>
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| − | <br />
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| − | ==<span style="color: green">Übungsaufgaben</span> ==
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' Gib zu jedem der Terme die Termart (oben) und das Ergebnis (unten) an, indem du die Felder in die Kästchen ziehst:
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| − | <div class="lueckentext-quiz">
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| − | {| class="wikitable center"
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| − | |-
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| − | |T<sub>1</sub>(x)=10•x-12 || T<sub>2</sub>(x)=10•(x-12) || T<sub>3</sub>(x)=10•x+(-12) || T<sub>4</sub>(x)=(x+x):3 || T<sub>5</sub>(x)=(x+3)•x || T<sub>6</sub>(x)=x+(3+x)
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| − | |-
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| − | | <strong> Differenz </strong> || <strong> Produkt </strong> || <strong> Summe </strong> || <strong> Quotient </strong> || <strong> Produkt </strong> || <strong> Summe </strong>
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| − | |-
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| − | | <strong> 10x-12 </strong> || <strong> 10x-120 </strong> || <strong> 10x-12 </strong> || <strong> 2x:3 bzw.<math>\frac{2x}{3}</math> </strong> || <strong> x<sup>2</sup>+3x </strong> || <strong> 3+2x </strong>
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| − | |}</div>
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| − | </div>
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| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' Monika,Felix und Katrin berechnen den Wert des Terms T(x) = 3x+2x<sup>2</sup> für x=5. Monika erhält als Ergebnis T(5) = 115, Felix erhält T(5) = 625 und Katrin erhält T(5) = 65.
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| − | a) Wer hat das richtige Ergebnis errechnet?
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| − | b) Welchen Fehler haben die anderen beiden gemacht?
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| − | c) Ändere bei denen, die falsch gerechnet haben, den Term T(x) jeweils durch Klammersetzen so um, dass sich die angegebenen Termwerte beim Einsetzen von x=5 ergeben.
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| − | <popup name="Lösung">
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| − | a) Es gilt die '''Vorrangregel''': Zuerst die Potenz ausrechnen, dann die Produkte und die Summe.
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| − | :: Also: T(5) 3•5+2•5<sup>2</sup> = 3•5+2•25 = 15+50 = 65
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| − | :: Somit ist das Ergebnis von Katrin richtig.
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| − | b) Monika und Felix haben die '''Vorrangregel''' missachtet.
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| − | c) Monikas Ergebnis T(5)=115 erhält man durch Klammersetzen um die Potenz: 3x+(2x<sup>2</sup>)
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| − | ::: T(5)= 3•5+(2•5)<sup>2</sup> = 3•5+(10)<sup>2</sup> = 15+100 = 115
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| − | Felix Ergebnis T(5)=625 erhält man durch Klammersetzen um den gesamten Term: (3x+2x)<sup>2</sup>
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| − | ::: T(5)= (3•5+2•5)<sup>2</sup> = (15+10)<sup>2</sup> = (25)<sup>2</sup> = 625
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| − | </popup> </div>
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| − | <br /><br />
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| − | [[Facharbeit Lernpfad Terme/Aufstellen und Interpretieren von Termen|Weiter zum Kapitel Aufstellen und Interpretieren von Termen]]
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| − | [[Facharbeit Lernpfad Terme/Übersicht|Zurück zur Übersicht]]
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