Ähnlichkeitssätze für Dreiecke - Ähnlichkeitskonstruktionen

Manche Konstruktionsaufgaben lassen sich lösen, indem man zuerst eine Figur mit der "richtigen" Form, aber beliebiger Größe zeichnet und diese dann durch eine Zentrische Streckung so vergrößert oder verkleinert, dass die Größe stimmt.

Beispiel

Aufgabe:

Konstruiere ein Dreieck ABC mit $\alpha$ = 30°, $\beta$ = 40° und w_$\alpha$ = 6cm

Konstruiere ein Dreieck mit $\alpha$ = 30° und $\beta$ = 40° und zeichne die Winkelhalbierende von $\alpha$ ein. Die Seitenlängen kannst du beliebig lang wählen. Trage mit Hilfe des Zirkels 6cm an den Punkt A an. S ist der Schnittpunkt mit w$\alpha$. Verlängere die Geraden [AB] und [AC]. Zeichne die Parallele zu [BC] durch den Punkt S. $\rightarrow$ Die Schnittpunkte mit den Geraden sind A' bzw. B'!

Wenn du noch keine Idee hast, dann kannst du hier eine Skizze ansehen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Gegeben: $\overline{AB}=1550m$ ;$\overline{BC}=450m$ ;$\overline{AD}=100m$
  
• Gesucht:$\overline{DE}$

Hier noch ein weiterer Tip [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Die Gerade [AB] bekommt man durch eine Zentrische Streckung der Geraden [AD] am Streckzentrum A.
• Die Gerade [BC] geht aus einer Zentrischen Streckung von [DE] an A hervor.

Und hier die komplette Lösung [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

• Berechnung des Streckfaktors k:

$\overline{AB} = k \cdot \overline{AD}$

$k = \frac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \frac{1550m}{100m} = 15.5$

• Berechnung des Höhenunterschiedes:

$\overline{BC} = k \cdot \overline{DE}$

$\overline{DE} = \frac{\overline{BC}} {k} = \frac{450m} {15.5} \approx 29,0m$

Der durchschnittliche Höhenunterschied, der auf 100m überwunden wird, beträgt 29m.

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