2008 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig</center>
  
 
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In einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> sind die Punkte M(−2|4|1), S(6|8|9), P(4|−8|1) sowie die Gerade g : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>, λ ∈ IR gegeben.  
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In einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math>, λ ∈ IR gegeben.  
 
Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius <math>6\sqrt{5}</math> und liegt in der Ebene E.
 
Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius <math>6\sqrt{5}</math> und liegt in der Ebene E.
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a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.  
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a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.<br />[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0] <div align="right">''5 BE''</div>
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Zu beweisen ist, dass P '''auf''' nicht innerhalb von k liegt. <br>Deswegen muss als Bedingung: <math>\vert \overrightarrow {MP} \vert = r </math> und nicht <math>\vert \overrightarrow {MP} \vert \le r </math> gelten.
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b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)<br />[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)] <div align="right">''7 BE''</div>
  
 
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'''Bestimmung der Schnittpunkte'''
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1. Lösung: g in k
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2. Lösung: allgemeiner Geradenpunkt
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b) Die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Fliese sei p. Wie würde die Entscheidungsregel mit einem möglichst großen Ablehnungsbereich lauten, wenn man die Nullhypothese H<sub>0</sub>: p > 0,1 anhand der 50 Fliesen eines Kartons auf dem Signifikanzniveau 5 % testen würde?
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c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren <math>\vec PR</math> und <math>\vec PT</math> einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort. <div align="right">''6 BE''</div>
  
 
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a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.<br />[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ] <div align="right">''4 BE''</div>
  
 
<popup name="Tipp">
 
<popup name="Tipp">
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''hier könnt könnte eine Formel,ein Hinweis auf Wesentliches, Links zu Hilfeseiten usw...stehen''
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''Stützpunkt der Geraden g spiegeln <br />oder T und R spiegeln''
 
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1. Lösung
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2. Lösung
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b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden. <div align="right">''3 BE''</div>
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1. Lösung
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Beweis:
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<math>\vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert</math>
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<math>\vert \overrightarrow {TM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180} {;}  \qquad \vert \overrightarrow {RM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180}</math>
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<math>\Rightarrow \vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert</math> q.e.d.
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2. Lösung
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c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus? <div align="right">''7 BE''</div>
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;Aufgabe 3
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Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt. <div align="right">''8 BE''</div>
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<popup name="Tipp">
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''Strahlensatz<br />oder HNF''
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1. Lösung: Strahlensatz
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2. Lösung: HNF
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Aktuelle Version vom 26. März 2010, 15:22 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008
Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig


Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g : \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, λ ∈ IR gegeben. Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius 6\sqrt{5} und liegt in der Ebene E.

ABI 2008 VI Grafik A1.jpg
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.
[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0]
5 BE

1.Lösung

ABI 2008 VI 1a 2Lös.jpg

2.Lösung

ABI 2008 VI 1a Lös.jpg



b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)
[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)]
7 BE

ABI 2008 VI 1b Lös.jpg

Bestimmung der Schnittpunkte

1. Lösung: g in k

ABI 2008 VI 1 b Lös.jpg

2. Lösung: allgemeiner Geradenpunkt

ABI 2008 VI 1b Lös allgemeiner geradenpunkt.jpg


c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren \vec PR und \vec PT einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.
6 BE

ABI 2008 VI 1c Lös.jpg



Aufgabe 2
a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.
[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ]
4 BE



1. Lösung

ABI 2008 VI 2a Lös.jpg

2. Lösung

ABI 2008 VI 2a Lös2.jpg


b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden.
3 BE


1. Lösung

ABI 2008 VI 2b Lös.jpg

Beweis: \vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert

\vert \overrightarrow {TM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ -10 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180} {;} \qquad \vert \overrightarrow {RM} \vert = \begin{vmatrix}\begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\end{vmatrix} = \sqrt{180}

\Rightarrow \vert \overrightarrow {TM} \vert = \vert \overrightarrow {RM} \vert q.e.d.

2. Lösung

ABI 2008 VI 2b Lös2.jpg


c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus?
7 BE

ABI 2008 VI 2c Lös.jpg



Aufgabe 3
Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt.
8 BE



1. Lösung: Strahlensatz

ABI 2008 VI 3 Lös.jpg

2. Lösung: HNF

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