2005 I

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005
Infinitesimalrechnung 1


Lösung von Daniel Greb, Sebastian Waldhäuser


Angabe
gesamte Lösung


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in |R definierten Funktionen fk(x)=(x2 + 1 - k)e-x mit k E |R

Der Graph von fk wird mit Gkbezeichnet.

a) Untersuchen Sie fk auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von fk für x->-8 und x->+8.

4 BE

b) Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen Gk nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen.

4 BE

c) Für welche Werte von k besitzt Gk mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass sie Punkte von Gk mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion w: x->2xe-x mit x E |R liegen.

7 BE

d) Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G1 und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den GRaphen G2 in die Abbildung ein.

2005 1 1d Zusatzbild zu d.jpg

5 BE

e) Bestätigen Sie, dass für k E |R gilt: f_k(x) = w(x) -f_{k}^{'}(x) Der Grapg G1 begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichen Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt der obigen Beziehung.

<dic align="Right">7 BE