2005 I: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Aufgabe 1'''
 
'''Aufgabe 1'''
  
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Gegeben ist die Schar der in |R definierten Funktionen f<sub>k</sub>(x)=(x<sup>2</sup> + 1 - k)e<sup>-x</sup>  mit k E |R  
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Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen <math>f_k:x\rightarrow (x^2+1-k)e^{-x}</math>  mit <math> k \in \mathbb{R} </math>
  
 
Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub>bezeichnet.
 
Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub>bezeichnet.
  
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<b>a)</b>  Untersuchen Sie f<sub>k</sub> auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x->-8 und x->+8.
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<b>a)</b>  Untersuchen Sie f<sub>k</sub> auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math> x\rightarrow -\infty </math> und <math> x\rightarrow +\infty</math>.
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<b>c)</b>  Für welche Werte von k besitzt G<sub>k</sub> mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass sie Punkte von G<sub>k</sub> mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion w: x->2xe<sup>-x</sup> mit x E |R liegen.
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<b>c)</b>  Für welche Werte von k besitzt G<sub>k</sub> mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass die Punkte von G<sub>k</sub> mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion <Math> w: x \rightarrow 2xe^{-x}</math> mit <math> x \in \mathbb{R} </math> liegen.
  
 
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<b>d)</b>  Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G<sub>1</sub> und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den GRaphen G<sub>2</sub> in die Abbildung ein.
 
  
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<b>d)</b>  Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G<sub>1</sub> und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen G<sub>2</sub> in die Abbildung ein.
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<b>e)</b>  Bestätigen Sie, dass für k E |R gilt:  <math>f_k(x) = w(x) -f_{k}^{'}(x)</math>  
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<b>e)</b>  Bestätigen Sie, dass für <math>k \in \mathbb{R} </math> gilt:  <math>f_k(x) = w(x) -f_{k}^{'}(x)</math>.
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Der Grapg G<sub>1</sub> begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichen Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt der obigen Beziehung.
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Der Graph G<sub>1</sub> begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt mit Hilfe der obigen Beziehung.
  
 
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'''Aufgabe 2'''
 
'''Aufgabe 2'''
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In einer Fachzeitschrift war zu lesen:
 
In einer Fachzeitschrift war zu lesen:
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<i> "Am oder um den 12. Oktober 1999 hat die Weltbevölkerung die Grenze von sechs Milliarden Menschen überschritten. Zu Beginnn des Jahres 2003 lebten bereits 6,274 Milliarden Erdenbürger. Im Jahr 2003 wurden im weltweiten Durchschnitt auf tausend Menschen, die zu Jahresbeginnn lebten, 22 Geburten und 9 Todesfälle gezählt."</i>
 
<i> "Am oder um den 12. Oktober 1999 hat die Weltbevölkerung die Grenze von sechs Milliarden Menschen überschritten. Zu Beginnn des Jahres 2003 lebten bereits 6,274 Milliarden Erdenbürger. Im Jahr 2003 wurden im weltweiten Durchschnitt auf tausend Menschen, die zu Jahresbeginnn lebten, 22 Geburten und 9 Todesfälle gezählt."</i>
  
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<b>b)</b>  Sollte sich die Bevölkerungsentwicklung von 2003 in Zukunft nicht ändern, so ließe sich die Anzahl <math> N(j)</math> der Erdenbürger zu Beginn des Jahres j nach der Formel <math> N(j) = N(2003) x a^j-2003 </math> berechnen.
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<b>b)</b>  Sollte sich die Bevölkerungsentwicklung von 2003 in Zukunft nicht ändern, so ließe sich die Anzahl <math> N(j)</math> der Erdenbürger zu Beginn des Jahres j nach der Formel <math> N(j) = N(2003) x a^{j-2003} </math> berechnen.
 
Bestimmen Sie a und das Kalenderjahr, in dem die Zahl von neun Milliarden Menschen überschritten würde.
 
Bestimmen Sie a und das Kalenderjahr, in dem die Zahl von neun Milliarden Menschen überschritten würde.
  
 
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<b>c)</b>  Bilden Sie die ABleitung der Funktion <math>N:j \rightarrow N(j),j\in [2003; +\infty [</math>.
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<b>c)</b>  Bilden Sie die Ableitung der Funktion <math>N:j \rightarrow N(j),j\in [2003; +\infty [</math>.
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Welcher Zusammenhang besteht zwischen <math> N(j) </math> und <math>N^(j)</math>?
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Welcher Zusammenhang besteht zwischen <math> N(j) </math> und <math>N^'(j)</math>?
  
 
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Aktuelle Version vom 24. März 2010, 15:54 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005
Infinitesimalrechnung 1


Lösung von Daniel Greb, Sebastian Waldhäuser

Wiki-Seite von Maximilian Kundmüller


Angabe
gesamte Lösung zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen f_k:x\rightarrow (x^2+1-k)e^{-x} mit k \in \mathbb{R}

Der Graph von fk wird mit Gkbezeichnet.

a) Untersuchen Sie fk auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von fk für x\rightarrow -\infty und x\rightarrow +\infty.

4 BE

b) Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen Gk nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen.

4 BE

c) Für welche Werte von k besitzt Gk mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass die Punkte von Gk mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion w: x \rightarrow 2xe^{-x} mit x \in \mathbb{R} liegen.

7 BE


d) Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G1 und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen G2 in die Abbildung ein.

2005 1 1d Zusatzbild zu d.jpg
5 BE

e) Bestätigen Sie, dass für k \in \mathbb{R} gilt: f_k(x) = w(x) -f_{k}^{'}(x). Der Graph G1 begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichem Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt mit Hilfe der obigen Beziehung.

7 BE


Aufgabe 2

In einer Fachzeitschrift war zu lesen:

"Am oder um den 12. Oktober 1999 hat die Weltbevölkerung die Grenze von sechs Milliarden Menschen überschritten. Zu Beginnn des Jahres 2003 lebten bereits 6,274 Milliarden Erdenbürger. Im Jahr 2003 wurden im weltweiten Durchschnitt auf tausend Menschen, die zu Jahresbeginnn lebten, 22 Geburten und 9 Todesfälle gezählt."

a) Wieviele Kinder wurden 2003 im Durchschnitt näherungsweise pro Minute geboren? Wieviele Milliarden Menschen lebten zu Beginn des Jahres 2004?

4 BE

b) Sollte sich die Bevölkerungsentwicklung von 2003 in Zukunft nicht ändern, so ließe sich die Anzahl N(j) der Erdenbürger zu Beginn des Jahres j nach der Formel N(j) = N(2003) x a^{j-2003} berechnen. Bestimmen Sie a und das Kalenderjahr, in dem die Zahl von neun Milliarden Menschen überschritten würde.

6 BE

c) Bilden Sie die Ableitung der Funktion N:j \rightarrow N(j),j\in [2003; +\infty [. Welcher Zusammenhang besteht zwischen N(j) und N^'(j)?

3 BE
(40 BE)
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