2004 II

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Infinitesimalrechnung II Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern Erarbeitet von Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner

Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion $f:\vec{x}\mapsto \ln\left(\frac{4}{x} -1\right)$ mit dem maximalen Definitionsbereich Df = ]0;4[. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet. a) Berechnen Sie die Nullstelle von f und untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern von Df. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bild b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Bild c) Zeigen Sie, dass Gf punktsymmetrisch zu Z(2|0) ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [[Bild:]] d) Berechnen Sie $f (0,5)$. Zeichnen Sie Gf unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse. Zeichnen Sie auch die Tangente im Symmetriezentrum ein (Ursprung des Koordinatensystems in der Blattmitte). [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [[Bild:]] f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit g bezeichnet wird. e) Zeigen Sie, dass gilt: $g(x) = 4 - \frac{4e^{x} }{1+e^{x} }$. Tragen Sie den Graphen von g in das Koordinatensystem der Teilaufgabe 1d ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [[Bild:]]

Aufgabe 2 Zwei Gänge von 2,0 m und 4,0 m Breite treffen rechtwinklig aufeinander. Es soll die größtmögliche Länge L eines Balkens ermittelt werden, den man in horizontaler Lage aus einem Gang in den anderen tragen kann. Die Dicke des Balkens wird als vernachlässigbar klein angesehen. Dazu betrachte man die gezeichnete Figur. $l(\alpha )$ ist die Maßzahl der in Meter angegebenen Länge der Strecke [AB] und definiert für 0° < $\alpha$ < 90° die Funktion $l$. a) Geben Sie an, welche Bedeutung die Maßzahl der gesuchten Länge für die Funktion $l$ hat. Zeigen Sie: $l(\alpha ) = \frac{2}{\sin(\alpha ) } + \frac{4}{\cos(\alpha )}$. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [[Bild:]] b) Berechnen Sie L auf dm genau. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] [[Bild:]]