2004 I

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004
Infinitestimalrechnung I

ruth, vroni, julian



Gegeben ist die in IR definierte Funktion f mit f_k:x\rightarrow 10(e^{-0,5x}-e^{-x}). Der zugehörige Graph ist nebenstehend skizziert.

Aufgabe 1.

Untersuchen Sie durch Rechnung a) das Verhalten von f\, für x \rightarrow +\infty und x \rightarrow -\infty

Abi 2004 1 a.jpg

b) in welchen Intervallen die Funktionswerte von f positiv bzw. negativ sind,

Abi 2004 1 b.jpg

c) Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f. [Zur Kontrolle: H(2ln2/2.5)]

Abi 2004 1 c.jpg

Abi 2004 1 c 2.jpg

Aufgabe 2

Einem Patienten wird zum Zeitpunkt x=0 eine bestimmte Menge eines Medikamentes verabreicht. Der obige Term f(x) beschreibt die Konzentration dieses Medikaments (Anzahl der Milliliter pro Liter Blut) nach x Stunden.
Berechnen sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration auf 75% ihres Höchstwerts abgesunken ist.

Abi 2004 2 a.jpg

Aufgabe 3

Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen F a(x)=\int_{a}^{x} f (t)\,dt, a ∈ IR. betrachtet. Der Graph vob Fa wird mit Ga bezeichnet.

a)

Bestimmen Sie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von Ga ohne Ausführung der Integration (kurze Begründung).

Abi 2004 3 a.jpg

b)

Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von F0(x) und zeigen Sie, dass gilt: \lim_{x \to \infty}  \ F0 (x) = 10

Abi 2004 3 b.jpg

Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von G0. Skizzieren Sie G0 unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse.

c

Erklären Sie, warum jede Funktion Fa mit a>0 genau zwei Nullstellen hat. (explizite Berechnung der Nullstellen nicht verlangt) Erläutern Sie, warum es Funktionen Fa mit a<0 gibt, die genau eine Nullstelle haben.

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