Verschieben von Funktionsgraphen

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Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Ungültige Thumbnail-Parameter

Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h?



Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um 3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben) verschoben.
Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)+3.

Beispiel: f(x)=x3


f(2)=8

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben \rightarrow h(x)=f(x)+3

h(2)=f(2)+3
h(2)=8+3
h(2)=11



Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und h, für die gilt: h(x)=f(x)+a entsteht der Graph h durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).




2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung: Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x3+2x2 um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen? Verschiebung zur Seite.png


Erklärung: Eine Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten in positiver x-Richtung (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.
Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x3+2x2
x=1 \rightarrow f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

j(x)=f(x-3)
j(x)=(x-3)3+2(x-3)2
j(4)=(4-3)3+2(4-3)2
j(4)=1+2=3=f(1)


Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.


Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).

3.Beispielaufagben

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.



Aufgabe 2:
Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.

Ausgangsfunktion:
Aufgabe 2 Verschiebungen 1.png

a) Aufgabe 2 Verschiebungen 2.png b) Aufgabe 2 Verschiebungen 3.png c) Aufgabe 2 Verschiebungen 4.png


Aufgabe 3:
Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

1. In welche Richtung ist der Graph f(x)=3x4+3x2-2x+4 ist gegenüber dem Graphen g(x)=3x4+3x2-2x verschoben?

nach oben
nach unten
nach links
in positiver y-Richtung
nach rechts

2. Um wie viele Einheiten ist der Graph g(x)=2x3+x2+4 gegenüber dem Graphen f(x)=2x3+x2-2 nach oben verschoben?

4
gar nicht
6
2

3. Wie lautet der Funktionsterm der Funktion, die ausgehend von der Funktion f(x)=x3+2x um 1 Einheit nach unten und 2 Einheiten nach links verschoben ist?

g(x)=x3+2x-1
g(x)=x3+6x2+14x+11
g(x)=x3+2x-3
g(x)=(x+2)3+2(x+2)-1
g(x)=(x-2)3+2(x-2)-1

4. In welche Richtung ist die Funktion g(x)=(x+3)2+2 gegenüber der Funktion f(x)=x2+2 verschoben?

nach links
nach rechts
in positiver y-Richtung
in positiver x-Richtung
in negativer x-Richtung
in negativer y-Richtung
nach oben
nach unten

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