Verschieben von Funktionsgraphen

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Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Ungültige Thumbnail-Parameter

Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x3. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h?


Erklärung: Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x3. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um 3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben) verschoben.
Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)+3.

Beispiel: f(x)=x3

f(1)=1

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben \rightarrow h(x)=f(x)+3

h(1)=f(1)+3
h(1)=1+3
h(1)=4


Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und h, für die gilt: h(x)=f(x)+a entsteht der Graph h durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).

2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung: Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x3+2x2 um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen? Verschiebung zur Seite.png

Erklärung: Eine Verschiebung des Graphen um 3 Einheiten in positiver x-Richtung (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.
Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x3+2x2

x=1 \rightarrow f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

j(x)=f(x-3)
j(x)=(x-3) 3+2(x-3)2
j(4)=(4-3)3+2(4-3)2
j(4)=1+2=3=f(1)

Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.


Allgemein: Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).


3.Beispielaufagben

Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.



Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind.

Aufgabe 2 Verschiebungen 1.png

Aufgabe 2 Verschiebungen 2.png

Aufgabe 2 Verschiebungen 3.png

Aufgabe 2 Verschiebungen 4.png

a) Verschiebung um 2 Einheiten nach oben:

g(x)=f(x)+2=x3+2

b) Verschiebung um 2 Einheiten nach links:

h(x)=f(x+2)
h(x)=(x+2)3
h(x)=(x+2)(x2+4x+4)
h(x)=x3+4x2+4x+2x2+8x+8
h(x)=x3+6x2+12x+8

c) Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten:

j(x)=f(x-3)-4
j(x)=(x-3)3-4
j(x)=(x-3)(x2-6x+9)-4
j(x)=x3-6x2+9x-3x2+18x-27-4
j(x)=x3-9x2+27x-31