Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 16:59 Uhr

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1 Verschieben von Funktionsgraphen

Verschieben von Funktionsgraphen

1.Verschiebung nach oben/unten

Problemstellung:


Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x³. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt.

Erklärung:
Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x³. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt.
Man kann also sagen, dass der Graph g a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben.

Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: g(x)=f(x)+a.

Beispiel: f(x)=x³

f(1)=1

Verschiebung um 3 Einheiten nach oben → g(x)=f(x)+3

g(1)=f(1)+3

g(1)=1+3

g(1)=4

Merke:

Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x)+a entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung.

Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten).

2.Verschiebung nach rechts/links

Problemstellung:
Im untenstehenden Applet siehst du den Graphen f mit x→x³+2x² und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst.
Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauszufinden.

Erklärung:
Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben
nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben. Somit entspricht
der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.
Das bedeutet für den funktionellen Zusammenhang: g(x)=f(x-3).

Beispiel: f(x)=x³+2x²

x=1 → f(1)=3

Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:

g(x)=f(x-3)

g(x)=(x-3)³+2(x-3)²

g(4)=(4-3)³+2(4-3)²

g(4)=1+2=3=f(1)

Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.

Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).

3.Beispielaufagben

Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x³+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.

Lösung anzeigen

Aufgabe 2:
Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x³ hervorgegangen sind.

Ausgangsfunktion:

a)

b)

c)

Lösung anzeigen

Aufgabe 3:

Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein.

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 '''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br />
-Im untenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben <br />
+{|
+! width="370" |
+! width="40" |
+|-
+| valign="top" |
+<br /> Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben
 des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt. <br /> <br />
+|
+| valign="top" |
 <ggb_applet width="530" height="503"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br />
+|}
 '''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br />
 Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt. <br />
-Man kann also sagen, dass der Graph g a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als
+Man kann also sagen, dass der Graph g &nbsp; a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x &nbsp; 3 Einheiten größer ist, als
-der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings <span style="color: blue">um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. <br />
+der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings <span style="color: blue">um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw.
 nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben</span>.  <br />
 :Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: <span style="color: blue">g(x)=f(x)</span><span style="color: red">+a</span>.  <br /> <br />
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>	<br /> 	<br /> <br />
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>	<br />
-:::<span style="color: green">f(2)=8</span> <br />
+:::<span style="color: green">f(1)=1</span> <br />
-Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span>   <math>\rightarrow</math>  	 g(x)=f(x)+3	<br />
+Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span>   →  	 g(x)=f(x)+3	<br />
-::: g(2)=<span style="color: green">f(2)</span><span style="color: red">+3</span> <br />
+::: g(1)=<span style="color: green">f(1)</span><span style="color: red">+3</span> <br />
-::: g(2)=<span style="color: green">8</span><span style="color: red">+3</span> <br />
+::: g(1)=<span style="color: green">1</span><span style="color: red">+3</span> <br />
-::: g(2)=11 </div> <br /> <br />
+::: g(1)=4 </div> <br /> <br />
-<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">Merke:</span>''' <br />
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">'''Merke:'''</span>''' <br />
 Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x)'''<span style="color: red">+a</span> entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um <span style="color: red">a</span> Einheiten in y-Richtung.'''  <br />
 Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten). </div> <br /> <br /> <br /> <br />
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 <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>'''	f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>  <br />
-:::x=1 <math>\rightarrow</math>  f(1)=3   <br />    <br />
+:::x=1 →   f(1)=3   <br />    <br />
 	Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span>: <br />
 :::g(x)=f(x<span style="color: red">-3</span>) <br />
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 <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: red">Merke:</span>''' <br />
-Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x'''<span style="color: red">-b</span>''')''' entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).</div>
+Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x'''<span style="color: red">-b</span>''')''' entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links). </div>
+<br /> <br />
 == <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> ==
-''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
@@ Zeile 71: / Zeile 79: @@
 ::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br />
 ::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28'''
-</popup>
+</popup> </div>
-''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind.
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind.
 Ausgangsfunktion: <br />
 [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 1.png|400px]] <br /> <br />
-a) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 2.png|400px]] <br />
+a) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 2.png|400px]] <br /> <br />
-b) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 3.png|400px]] <br />
+b) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 3.png|400px]] <br /> <br />
 c) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 4.png|400px]] <br /> <br />
@@ Zeile 101: / Zeile 111: @@
 :::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br />
 :::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31'''
-</popup> <br /> <br />
+</popup> </div> <br /> <br />
-''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
+<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
 Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> <br />
 <quiz display="simple">
@@ Zeile 136: / Zeile 146: @@
 - nach unten
-</quiz>
+</quiz> </div>
-|}
+|} <br />
 [[Facharbeit Florian Wilk/Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen|Weiter zum Kapitel Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen]]

Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen

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