Verschieben von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen
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= <span style="color: blue">Verschieben von Funktionsgraphen</span> = | = <span style="color: blue">Verschieben von Funktionsgraphen</span> = | ||
==<span style="color: blue">1.Verschiebung nach oben/unten</span> == | ==<span style="color: blue">1.Verschiebung nach oben/unten</span> == | ||
'''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br /> | '''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br /> | ||
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| + | <br /> Im nebenstehenden Applet siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Den roten Graphen g der Funktion g(x) kannst du durch Verschieben | ||
des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt. <br /> <br /> | des Reglers verändern. Versuche herauszufinden, wie sich das Verändern des Parameters auf den Graphen von g auswirkt. <br /> <br /> | ||
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| + | <ggb_applet width="530" height="503" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | ||
| + | |} | ||
'''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | '''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> | ||
| − | Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph g liegt jeweils so viele | + | Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph g liegt jeweils so viele Einheiten über bzw. unter dem Graphen f, wie der Regler anzeigt. <br /> |
| − | Man kann also sagen, dass der Graph g a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als | + | Man kann also sagen, dass der Graph g a Einheiten über dem Graphen f liegt. Das bedeutet bespielsweise für a=3, dass jeder Funktionswert g(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als |
| − | der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings <span style="color: blue">um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. | + | der Funktionswert f(x). Folglich nehmen beide Graphen den gleichen Verlauf, allerdings <span style="color: blue">um a Einheiten nach oben (in positiver y-Richtung) bzw. |
nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben</span>. <br /> | nach unten (in negativer y-Richtung) verschoben</span>. <br /> | ||
:Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: <span style="color: blue">g(x)=f(x)</span><span style="color: red">+a</span>. <br /> <br /> | :Für den Funktionsterm g(x) gilt somit: <span style="color: blue">g(x)=f(x)</span><span style="color: red">+a</span>. <br /> <br /> | ||
| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup> <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup> <br /> |
| − | :::<span style="color: green">f( | + | :::<span style="color: green">f(1)=1</span> <br /> |
| − | Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span> | + | Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span> → g(x)=f(x)+3 <br /> |
| − | ::: g( | + | ::: g(1)=<span style="color: green">f(1)</span><span style="color: red">+3</span> <br /> |
| − | ::: g( | + | ::: g(1)=<span style="color: green">1</span><span style="color: red">+3</span> <br /> |
| − | ::: g( | + | ::: g(1)=4 </div> <br /> <br /> |
| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">Merke:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> <span style="color: red">'''Merke:'''</span>''' <br /> |
Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x)'''<span style="color: red">+a</span> entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um <span style="color: red">a</span> Einheiten in y-Richtung.''' <br /> | Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x)'''<span style="color: red">+a</span> entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um <span style="color: red">a</span> Einheiten in y-Richtung.''' <br /> | ||
Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten). </div> <br /> <br /> <br /> <br /> | Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives a in negativer y-Richtung (nach unten). </div> <br /> <br /> <br /> <br /> | ||
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== <span style="color: blue">2.Verschiebung nach rechts/links</span> == | == <span style="color: blue">2.Verschiebung nach rechts/links</span> == | ||
| − | '''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' | + | '''<span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br /> |
| − | <ggb_applet width=" | + | Im untenstehenden Applet siehst du den Graphen f mit x→x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> und den Graphen g, den du wiederum durch Verändern des Reglers verschieben kannst. <br /> |
| + | Versuche, einen Zusammenhang zwischen dem Verändern des Reglers und der Verschiebung des Graphen herauszufinden. <br /> <br /> | ||
| + | <ggb_applet width="733" height="503" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | ||
| − | '''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' | + | '''<span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br /> |
| + | Das Verändern des Reglers führt zu einer Verschiebung des Graphen g nach rechts oder links. Wie schon bei der Verschiebung nach oben <br /> | ||
| + | nimmt der Graph dabei den gleichen Verlauf, wie der Graph von f, allerdings <span style="color: blue">um b Einheiten nach rechts bzw. links verschoben</span>. Somit entspricht <br /> | ||
| + | der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle x+b.<br /> | ||
| + | Das bedeutet für den funktionellen Zusammenhang: <span style="color: blue">g(x)=f</span>(<span style="color: red">x-3</span><span style="color: blue">)</span>. <br /> <br /> | ||
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> <br /> | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: blue">Beispiel:</span>''' f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> <br /> | ||
| − | :::x=1 | + | :::x=1 → f(1)=3 <br /> <br /> |
Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span>: <br /> | Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span>: <br /> | ||
| − | ::: | + | :::g(x)=f(x<span style="color: red">-3</span>) <br /> |
| − | ::: | + | :::g(x)=(x-3)<sup>3</sup>+2(x-3)<sup>2</sup> <br /> |
| − | ::: | + | :::g(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br /> |
| − | :::<span style="color: green"> | + | :::<span style="color: green">g(4)</span>=1+2=3=<span style="color: green">f(1)</span> </div> <br /> <br /> |
| − | Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von | + | Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist. <br /> <br /> |
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: red">Merke:</span>''' <br /> | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">'''<span style="color: red">Merke:</span>''' <br /> | ||
| − | Bei zwei gegebenen Funktionen f und | + | Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: '''g(x)=f(x'''<span style="color: red">-b</span>''')''' entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links). </div> |
| + | <br /> <br /> | ||
== <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> == | == <span style="color: blue">3.Beispielaufagben</span> == | ||
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist. | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist. |
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::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br /> | ::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br /> | ||
::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28''' | ::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28''' | ||
| − | </popup> | + | </popup> </div> |
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind. | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind. |
Ausgangsfunktion: <br /> | Ausgangsfunktion: <br /> | ||
| − | [[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 1.png|400px]] <br /> <br /> | + | [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 1.png|400px]] <br /> <br /> |
| − | a) [[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 2.png|400px]] b) [[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 3.png|400px]] c) [[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 4.png|400px]] <br /> <br /> | + | a) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 2.png|400px]] <br /> <br /> |
| + | |||
| + | b) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 3.png|400px]] <br /> <br /> | ||
| + | |||
| + | c) [[Bild:Aufgabe 1.2 Verschiebungen 4.png|400px]] <br /> <br /> | ||
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:::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br /> | :::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br /> | ||
:::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31''' | :::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31''' | ||
| − | </popup> <br /> <br /> | + | </popup> </div> <br /> <br /> |
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> |
Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> <br /> | Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> <br /> | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
| Zeile 124: | Zeile 146: | ||
- nach unten | - nach unten | ||
| − | </quiz> | + | </quiz> </div> |
| − | + | |} <br /> | |
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 16:59 Uhr
Verschieben von Funktionsgraphen1.Verschiebung nach oben/untenProblemstellung:
Erklärung:
Beispiel: f(x)=x3
Verschiebung um 3 Einheiten nach oben → g(x)=f(x)+3
Merke: Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x)+a entsteht der Graph g durch eine Verschiebung des Graphen f um a Einheiten in y-Richtung. 2.Verschiebung nach rechts/linksProblemstellung:
Beispiel: f(x)=x3+2x2
Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts:
Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von g(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.
Merke:
Bei zwei gegebenen Funktionen f und g, für die gilt: g(x)=f(x-b) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um b Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).
3.Beispielaufagben Aufgabe 1:
Gegeben ist die Funktion f(x)=x3+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.
Aufgabe 2: Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x3 hervorgegangen sind. Ausgangsfunktion: a) b) c)
Aufgabe 3:
Kreuze an, was stimmt. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. |
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