Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Streckung in x-Richtung

Problemstellung:

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung um den Faktor 3 entsteht der Graph g. Wie lautet der Funktionsterm von g?

Erklärung: Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt.
Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f(${1 \over 3}$x)=cos${1 \over 3}$x
(Allgemein: f(x)=g(kx) oder g(x)=f(${1 \over k}$x))

Beispiel:

k=2

f($\Pi$)=-1

g(x)=f(${1 \over k}$x)

g($\Pi$)=f(${1 \over 2}$$\Pi$)

g($\Pi$)=0

Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst. Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor ${1 \over k}$

Merke:

Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k×f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.

Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor ${1 \over k}$ in x-Richtung gestreckt.