Grenzwerte im Unendlichen: Unterschied zwischen den Versionen
Aus RMG-Wiki
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| − | + | <ggb_applet width="906" height="503" version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br /> | |
| − | Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert | + | Bei der Betrachtung des Graphen und der dazugehörigen Wertetabelle fällt auf, dass sich die Funktionswerte sowohl für immer größer werdende, als auch für immer kleiner werdende x-Werte dem Wert y=3 immer weiter annähern, ohne ihn aber direkt anzunehmen oder zu unterschreiten. <br /> |
Diese Tendenz kann man nun durch eine Formelumformung bestätigen: <br /> | Diese Tendenz kann man nun durch eine Formelumformung bestätigen: <br /> | ||
f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math>=<math>{6x \over 2x}+{1 \over 2x}</math>=<math>3+{1 \over 2x}</math> <br /> | f(x)=<math>{6x+1 \over 2x}</math>=<math>{6x \over 2x}+{1 \over 2x}</math>=<math>3+{1 \over 2x}</math> <br /> | ||
| + | [[Bild:Grenzwerte Annäherung neu.png|300px|right]] | ||
Da <math>{1 \over 2x}</math> für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem ''' <span style="color: blue">Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.</span>''' <br /> | Da <math>{1 \over 2x}</math> für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem ''' <span style="color: blue">Grenzwert der Funktion für x gegen plus unendlich.</span>''' <br /> | ||
Kurz: <br /> | Kurz: <br /> | ||
| − | ::<math>\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3</math> <br /> | + | ::<math>\lim_{x\to\infty} 3+{1 \over 2x}=3</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |
| + | Im oberen Applet kannst du noch zwei weitere Graphen von Funktionen betrachten, indem du links die Funktionsterme auswählst. Die Funktion g(x) mit <br /> | ||
| + | x→<math>{3x+2 \over 2x+1}</math> nähert sich dem Wert 1,5 und für die Funktion h(x) mit x→2<sup>x</sup> gilt: <br /> | ||
| + | ::<math>\lim_{x\to\infty}</math> 2<sup>x</sup>=<math>\infty</math> d.h. der Graph geht für immer größer werdende x-Werte immer weiter gegen unendlich <br /> | ||
| + | ::<math>\lim_{x\to-\infty}</math> 2<sup>x</sup>=0 d.h. für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich der Graph dem Wert 0 | ||
</popup> | </popup> | ||
<br /> <br /> | <br /> <br /> | ||
Funktionen, die für x gegen <math>+\infty</math> oder <math> -\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man ''' <span style="color: blue">konvergent</span>'''. <br /> <br /> | Funktionen, die für x gegen <math>+\infty</math> oder <math> -\infty</math> einen Grenzwert besitzen, nennt man ''' <span style="color: blue">konvergent</span>'''. <br /> <br /> | ||
| + | |||
''' <span style="color: blue">Hinweis:</span>''' <br /> Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht. <br /> <br /> | ''' <span style="color: blue">Hinweis:</span>''' <br /> Ist eine Abweichung vom Grenzwert gegeben und möchte man wissen, für welche x-Werte diese Abweichung unterschritten wird, so ist dies für jedes x ab einem bestimmten x-Wert der Fall. In unserem Beispiel bedeutet das für eine Abweichung von 0,1 vom Grenzwert 3, dass der Graph für jedes x, das größer ist als 5 (siehe Wertetabelle) um weniger als 0,1 vom Grenzwert abweicht. <br /> <br /> | ||
| − | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Sonderfall:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Sonderfall:</span>''' |
| + | [[Bild:Konvergenz Ergänzung.png|300px|right]] | ||
| + | <br /> | ||
Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=<math>{cosx \over x}</math>, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. <br /> | Betrachtet man den Graphen der Funktion f(x)=<math>{cosx \over x}</math>, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. <br /> | ||
In diesem Fall gilt: <br /> | In diesem Fall gilt: <br /> | ||
| − | ::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> </div> <br /> | + | ::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> </div> <br /> |
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== <span style="color: blue">Divergente Funktionen</span> == | == <span style="color: blue">Divergente Funktionen</span> == | ||
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| − | <br /> <br /> Bei der Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. | + | <br /> <br /> Bei der Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>+x-1 erkennt man, dass die Funktionswerte für beliebig große x-Werte beliebig groß werden und der Graph ins Unendliche steigt bzw. für immer kleiner werdende x-Werte gegen -<math>\infty</math> geht. Daher besitzt die Funktion keinen exakten Grenzwert. <br /> |
'''Es gilt:''' <br /> | '''Es gilt:''' <br /> | ||
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| − | [[Bild:Divergente Funktion 2.png|300px]] | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> [[Bild:Divergente Funktion 4. 2.png|300px]] </div> |
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| − | <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt. | + | <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Auch bei der Funktion f(x)=cosx gibt es keinen exakten Grenzwert, da die Funktion gleichmäßig im Bereich zwischen +1 und -1 schwankt. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> |
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| − | [[Bild:Divergente Funktion 1.png|300px]] | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">[[Bild:Divergente Funktion 4. 1.png|300px]]</div> |
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| − | <br /> <br /> <br /> <br /> Die Funktion f(x)= | + | <br /> <br /> <br /> <br /> Die Funktion f(x)=x<math>\cdot</math>cosx besitzt ebenfalls keinen exakten Grenzwert. Zwar werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß, allerdings schwanken sie dabei gleichzeitig. In diesem Fall ist auch die Schreibweise <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> bzw. <math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty</math> '''nicht''' erlaubt. |
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| − | [[Bild:Divergente Funktion 3.png|300px]] | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">[[Bild:Divergente Funktion 4. 3.png|300px]]</div> |
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== <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> == | == <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> == | ||
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>''' <br /> |
Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte. <br /> | Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte. <br /> | ||
:a) f(x)=x<sup>2</sup> <br /> | :a) f(x)=x<sup>2</sup> <br /> | ||
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a) <br /> | a) <br /> | ||
f(x)=x<sup>2</sup> | f(x)=x<sup>2</sup> | ||
| − | ::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= \pm\infty</math> da die Funktionswerte im positiven Bereich für wachsende und im negativen Bereich für immer kleiner werdende x-Werte | + | ::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= \pm\infty</math> da die Funktionswerte im positiven Bereich für wachsende und im negativen Bereich für immer kleiner werdende x-Werte gegen + bzw. - unendlich gehen <br /> |
b) <br /> | b) <br /> | ||
f(x)=2<sup>x</sup> | f(x)=2<sup>x</sup> | ||
::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> d.h. für immer größer werdende x-Werte werden die Funktionswerte immer größer <br /> | ::<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> d.h. für immer größer werdende x-Werte werden die Funktionswerte immer größer <br /> | ||
| − | ::<math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math> d.h im negativen Bereich nähert sich der Graph für kleiner werdende x-Werte dem Wert 0 <br /> | + | ::<math>\lim_{x\to-\infty} f(x)=0</math> d.h. im negativen Bereich nähert sich der Graph für kleiner werdende x-Werte dem Wert 0 <br /> |
c) <br /> | c) <br /> | ||
f(x)=<math>{5x+2 \over 3x-2}</math>=<math>{x(5+\frac 2x) \over x(3-\frac 2x)}</math>=<math>{5+\frac 2x \over 3-\frac 2x}</math> | f(x)=<math>{5x+2 \over 3x-2}</math>=<math>{x(5+\frac 2x) \over x(3-\frac 2x)}</math>=<math>{5+\frac 2x \over 3-\frac 2x}</math> | ||
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f(x)=<math>5-{1 \over x}</math> | f(x)=<math>5-{1 \over x}</math> | ||
::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= 5</math> da <math>\frac 1x</math> für größer werdende x-Werte gegen 0 geht | ::<math>\lim_{x\to \pm\infty} f(x)= 5</math> da <math>\frac 1x</math> für größer werdende x-Werte gegen 0 geht | ||
| − | </popup> <br /> <br /> | + | </popup> </div> <br /> <br /> |
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br /> |
| − | Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→ | + | Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→<math>\infty</math>)? |
<br /> <br /> | <br /> <br /> | ||
<popup name="Lösung"> | <popup name="Lösung"> | ||
f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> | f(x)=<math>{4x+1 \over 2x-3}</math> | ||
| − | ::<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=</math><math>\lim_{x\to \infty}{x(4+1 | + | ::<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=</math><math>\lim_{x\to \infty}{x(4+ \frac {1} {x}) \over x(2- \frac {3} {x})}=\lim_{x\to \infty}{4+ \frac {1} {x} \over 2- \frac {3} {x}}={4 \over 2}=2</math> <br /> |
Der Grenzwert der Funktion liegt also bei y=2, da sich der Graph von oben diesem Wert nähert, bedeutet das für den Funktionswert bei einer Abweichung von 0,1 <br /> <br /> | Der Grenzwert der Funktion liegt also bei y=2, da sich der Graph von oben diesem Wert nähert, bedeutet das für den Funktionswert bei einer Abweichung von 0,1 <br /> <br /> | ||
f(x)=2,1 (Grenzwert + Abweichung) <br /> <br /> | f(x)=2,1 (Grenzwert + Abweichung) <br /> <br /> | ||
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:→x=36,5 <br /> | :→x=36,5 <br /> | ||
::→ für x>36,5 ist die Abweichung vom Grenzwert kleiner als 0,1 <br /> | ::→ für x>36,5 ist die Abweichung vom Grenzwert kleiner als 0,1 <br /> | ||
| − | </popup> <br /> <br /> | + | </popup> </div> <br /> <br /> |
| − | ''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> | + | <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br /> |
Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> | Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. <br /> | ||
<quiz display="simple"> | <quiz display="simple"> | ||
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+ existiert nicht | + existiert nicht | ||
| − | </quiz> | + | </quiz> </div> |
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 21:17 Uhr
Grenzwerte im Unendlichen
Konvergente Funktionen
Divergente FunktionenBei divergenten Funktionen, also Funktionen die für x→
Beispielaufgaben Aufgabe 1: Untersuche die Funktionen auf Grenzwerte.
Aufgabe 2: Ab welchem Funktionswert unterschreitet die Funktion f(x)= Aufgabe 3:
Kreuze die richtigen Antworten an. Es können mehrere Antwortmöglichkeiten richtig sein. |
eine Wertetabelle für die x-Werte -20,-15,-10,-8,-5,-3,0,3,5,8,10, 15, 20 und zeichne anhand dieser Werte den Graphen von f. Versuche anhand der Zeichnung einen y-Wert zu erkennen, dem sich der Graph immer weiter annähert. Kontrolliere anschließend dein Ergebnis, indem du den Graphen so umformst, dass man für wachsende x-Werte einen genauen y-Wert ablesen kann.
=
für wachsende x-Werte dem Wert 0 immer näher kommt, kommt die gesamte Funktion dem Wert 3 immer näher. Bei der Zahl 3 spricht man hierbei von dem 
nähert sich dem Wert 1,5 und für die Funktion h(x) mit x→2x gilt: 
2x=
d.h. der Graph geht für immer größer werdende x-Werte immer weiter gegen unendlich 
2x=0 d.h. für immer kleiner werdende x-Werte nähert sich der Graph dem Wert 0
oder 
einen Grenzwert besitzen, nennt man 
, so fällt auf, dass der Graph um die Asymptote x=0 schwankt, wobei die Schwankung immer kleiner wird. 
keinen Grenzwert besitzen, unterscheidet man drei verschiedene Möglichkeiten.
bzw. 
cosx besitzt ebenfalls keinen exakten Grenzwert. Zwar werden die Funktionswerte betragsmäßig beliebig groß, allerdings schwanken sie dabei gleichzeitig. In diesem Fall ist auch die Schreibweise 
da die Funktionswerte im positiven Bereich für wachsende und im negativen Bereich für immer kleiner werdende x-Werte gegen + bzw. - unendlich gehen 
d.h. im negativen Bereich nähert sich der Graph für kleiner werdende x-Werte dem Wert 0 
=
da 
für größer werdende x-Werte gegen 0 geht 
da 
für größer werdende x-Werte gegen 0 geht
die Abweichung von 0, 1 vom Grenzwert (für x→
nach x auflösen
