Funktionsuntersuchungen

Funktionsuntersuchungen

Lineare Funktionen

Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.

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D=$\mathbb{R}$

W=$\mathbb{R}$

Steigung: m=3

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

y-Achse:

f(0)=3×0+1=1 $\rightarrow$ P(0/1)

x-Achse:

f(x)=0

3x+1=0

x=-1/3 $\rightarrow$ S(-1/3/0)

Quadratische Funktionen

Gegeben ist die Funktion g(x)=x²+3x-2. Bestimme zu dieser Funktion Definitions- und Wertemenge, die Nullstellen und den Scheitel. Beschreibe den Verlauf des Graphen und plotte die Funktion mit GeoGebra. Vergleiche anschließend die rechnerischen Ergebnisse mit der Zeichnung.

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D=$\mathbb{R}$

W=[-4;∞┤[

Nullstellen: Lösungsformel

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{3^2+8}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}$
x₁=0,56 $\rightarrow$ P₁(0,56/0)
x₂=-3,56 $\rightarrow$ P₂(-3,56/0)

Graph: nach oben geöffnete Parabel

Scheitel: Die x-Koordinate des Scheitels befindet sich mittig zwischen den beiden Nullstellen $\rightarrow$ x=-1,5
f(-1,5)=-4,25 $\rightarrow$ S(-1,5;-4,25)

Oder: Quadratische Ergänzung:
g(x)=x²+3x-2
g(x)=x²+3x+1,5²-1,5²-2
g(x)=(x²+3x+1,5² )-4,25
g(x)=(x+1,5)²-4,25 $\rightarrow$ S(-1,5/-4,25)

Ganzrationale Funktionen

Gegeben ist die Funktion h(x)=2x⁷-2x⁶+4x⁴-4x³. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit Geogebra.

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D=$\mathbb{R}$
W=$\mathbb{R}$
Nullstellen:
h(x)=2x⁷-2x⁶+4x⁴-4x³ h(x)=2x³ (x⁴-x³+2x-2) $\rightarrow$ x₁=0 (dreifache Nullstelle)
Ausprobieren: x₂=1
Polynomdivision: (x⁴-x³+2x-2)÷(x-1)=x³+2

x₃=-∛2 $\rightarrow$ h(x)=2x³ (x-1)(x³+2)

P₁ (0/0) P₂ (1/0) P₃ (-∛2/0)

Gebrochen rationale Funktionen

Bestimme zu der Funktion j(x)= ${5x+3 \over 3x-1}$ die Asymptoten. Folgere daraus die Defintions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.

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Asymptoten:
y= ${5 \over 3}$ $\rightarrow$ W=$\mathbb{R}$
\${5 \over 3}$
x=${1 \over 3}$ $\rightarrow$ D=$\mathbb{R}$
\${{1 \over 3}}$

Nullstelle: j(x)=${5x+3 \over 3x-1}$ | (3x-1)
j(x)=5x+3
x=$-{3 \over 5}$

Trigonometrische Funktionen

Gegeben ist die Funktion k(x)=2cosx. Bestimme den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Amplitude und die Nullstellen.