Lösung von Teilaufgabe d

Kongruenz der Dreiecke

Die Dreiecke werden durch die Punkte R_a ( a / f _a (a) ), H_a ( a + 1 / f _a ( a + 1 )) und W_a ( a + 2 / f_a ( a + 2 )) festgelegt.

1.Punkt : R_a ( a / f _a (a))

     $f_a (a) = ( a - a )\cdot e^{ a + 2 - a }$

            $= 0\cdot e^{ 2 }
 
                = 0$

   
Der Punkt Ra liegt für alle a bei Ra ( a / 0 )

2.Punkt : H_a ( a + 1 / f _a ( a + 1 ))

    $f_a (a+1) = ( a + 1 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+1) }$

         $= 1 \cdot e^{ a + 2 - a-1) }$

         $= 1 \cdot  e^{1}
           = e$


Der Punkt Ha liegt für alle a bei Ha ( a + 1 / e )

3.Punkt : W_a ( a + 2 / f_a ( a + 2 ))

    $f_a (a+2) = ( a + 2 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+2) }$

        $= 2 \cdot e^{ a + 2 - a-2) }$

        $= 2 \cdot  e^{0}
          = 2$


Der Punkt Wa liegt für alle a bei Wa ( a + 2 / 2 )

Mit den nun drei bestimmten Punkten R_a, H_a und W_a lässt sich sagen, dass die Dreiecke kongruent sein müssen. Die y-Werte aller drei Punkte sind für alle a identisch. Daraus schließt man, dass sich die drei Punkte nur auf der x-Achse beziehungsweise auf einer Parallelen zur x-Achse, immer um den gleichen Wert, nämlich um a, verschieben lassen. Da sich die Punkte nur auf Parallelen zur x-Achse verschieben, heißt das natürlich auch, dass sich das Dreieck nur auf der x-Achse verschieben kann und somit immer kongruent ist.

BILD (GEOGEBRA) EINFÜGEN

Flächeninhalt des Dreiecks

$im R^{2}: A = \frac{1}{2}  | ( a_1\cdot  b_2 - a_2\cdot b_1) + (  b_1\cdot c_2 - b_2\cdot c_1 ) + ( c_1\cdot a_2 - c_1\cdot a_2 ) |$

siehe Formelsammlung Seit 81

Definiere: 
A (a1 / a2 ) =   Ra ( a / 0 )
B (b1 / b2 ) =   Ha ( a + 1 / e )
C (c1 / c2 ) =   Wa ( a + 2 / 2 )

$A_F = \frac{1}{2}  | ( a\cdot  e - 0\cdot (a+1)) + ( (a+1)\cdot 2 - e\cdot (a+2) ) + ( (a+2)\cdot 0 - 2\cdot a ) |$
    $= \frac{1}{2}  |  a\cdot  e - 0 +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  +  0 - 2\cdot a ) |$
    $= \frac{1}{2}  |  a\cdot  e  +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  - 2\cdot a ) |$
    $= \frac{1}{2}  |   2 -2\cdot e   |$
    $= \frac{1}{2}\cdot2 |  1 - e |$
    $= 1\cdot |  1 - e |
 
             = |   1 - e   |$
    $\approx  1,718$

Der Flächeninhalt beträgt, unabhängig von a, | 1 - e |.