Lösung von Teilaufgabe d: Unterschied zwischen den Versionen

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Der Punkt '''H<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / e )
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Der Punkt '''H<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei <span style="color: red">'''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / e )</span>
  
  
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Der Punkt '''W<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / 2 )
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Der Punkt '''W<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei <span style="color: red">'''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / 2 )</span>
  
  
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Der Flächeninhalt beträgt, '''unabhängig''' von '''a''', <math>| 1 - e |\;</math>.
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Der Flächeninhalt beträgt, '''unabhängig''' von '''a''', <span style="color: red">'''| 1 - e |'''</span>

Version vom 23. Januar 2010, 21:43 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Kongruenz der Dreiecke

Die Dreiecke werden durch die Punkte \; R_a\;( a / f_a (a)), H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 )) und H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 )) festgelegt.


1.Punkt : \; R_a\;( a / f_a (a))

f_a (a) = ( a - a )\cdot e^{ a + 2 - a }
= 0\cdot e^{ 2 }
= 0\;

Der Punkt Ra liegt für alle a bei Ra ( a / 0 )


2.Punkt : H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))

f_a (a+1) = ( a + 1 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+1) }
= 1 \cdot e^{ a + 2 - a-1) }
= 1 \cdot e^{1}
= e\;

Der Punkt Ha liegt für alle a bei Ha ( a + 1 / e )


3.Punkt : W_a\;( a + 2 / f_a ( a + 2 ))

f_a (a+2) = ( a + 2 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+2) }
= 2 \cdot e^{ a + 2 - a-2) }
= 2 \cdot e^{0}
= 2 \;

Der Punkt Wa liegt für alle a bei Wa ( a + 2 / 2 )


Mit den nun drei bestimmten Punkten Ra, Ha und Wa lässt sich sagen, dass die Dreiecke kongruent sein müssen. Die y-Werte aller drei Punkte sind für alle a identisch. Daraus schließt man, dass sich die drei Punkte nur auf der x-Achse beziehungsweise auf einer Parallelen zur x-Achse, immer um den gleichen Wert, nämlich um a, verschieben lassen. Da sich die Punkte nur auf Parallelen zur x-Achse verschieben, heißt das natürlich auch, dass sich das Dreieck nur auf der x-Achse verschieben kann und somit immer kongruent ist.







Flächeninhalt des Dreiecks

im R^{2}: A = \frac{1}{2} | ( a_1\cdot b_2 - a_2\cdot b_1) + ( b_1\cdot c_2 - b_2\cdot c_1 ) + ( c_1\cdot a_2 - c_1\cdot a_2 ) |

siehe Formelsammlung Seit 81

Definiere: \;
A\; (\;a_1 \;/\; a_2 \;) = R_a \;(\; a \;/\; 0\; )
B\; (\;b_1 \;/\; b_2 \;) = H_a \;( \;a + 1\; /\; e \;)
C\; (\;c_1 \;/\; c_2 \;) = W_a \;(\; a + 2 \;/ \;2 \;)


A_F = \frac{1}{2} | ( a\cdot e - 0\cdot (a+1)) + ( (a+1)\cdot 2 - e\cdot (a+2) ) + ( (a+2)\cdot 0 - 2\cdot a ) |
= \frac{1}{2} | a\cdot e - 0 + 2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e + 0 - 2\cdot a ) |
= \frac{1}{2} | a\cdot e + 2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e - 2\cdot a ) |
= \frac{1}{2} | 2 -2\cdot e |
= \frac{1}{2}\cdot2 | 1 - e |
= 1\cdot | 1 - e |
= | 1 - e |\;
\approx 1,718

Der Flächeninhalt beträgt, unabhängig von a, | 1 - e |

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