Lösung von Teilaufgabe b: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. Januar 2010, 22:06 Uhr

1. Eigenschaften einer Stammfunktion von f_a

1.) Von $-\infty < x < a$ verläuft der Graph G_{f_a} unterhalb der x-Achse und ist somit negative. Daraus kann man schließen, das der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton fallend ist.
Von $a < x < \infty$ verläuft der Graph G_{f_a} oberhalb der x-Achse und ist somit positive. Daraus kann man schließen, dass der Graph G_{F_a} in diesem Intervall streng monoton steigend ist.

2.) Bei $x = a$ ist der Graph G_{f_a} gleich Null ( G_{f_a} = 0 )und das Steiguungsverhalten von G_{F_a} ändert für $x < a$ und $x > a$ das Vorzeichen. Deshalb kann man sagen, dass der Graph G_{F_a} an der Stell $x = a$ einen Extrempunkt, in diesem Fall einen Tiefpunkt ( Minimum ) hat, da sich das Monotonieverhalten von streng monoton fallend in streng monoton steigend verändert.

2. Bestimmung einer Stammfunktion von f_a durch partielle Integration

Hilfe zur partiellen Integration

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a ) e^{a + 2 - x}$

Definiere:

$u ( x ) = x - a$
$u ^{'} ( x ) = 1$

$v ( x ) = e^{a + 2 - x}$
$v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}$

$\int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}$

$=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx$

$=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}$

$=[-e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a + 1 )]^{b}_{a}$

$\Rightarrow F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c$

Der Graph von $F_a \,( x )$

für Interessierte: Der Holzweg

3. Flächenberechnung, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckenden Fläche, zwischen der x- Achse und der Funktion f₂ im I. Quadranten

Hinweis: $\lim_{x\to\infty}x\cdot e^{-x} = 0$

Da die Nullstelle der Funktion f_a bei x = a liegt, folgt daraus, dass die Nullstelle der Funktion f₂ bei x = 2 liegt. Das heißt, man muss von zwei bis unendlich integrieren.

$\int_{2}^{b} f_a( x ) = [-e^{2 + 2 - x}\cdot ( x - 2 + 1 )]^{b}_{2}$

$= [-e^{4 - x}\cdot ( x - 1 )]^{b}_{2}$

$= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{4 - 2}\cdot ( 2 - 1 )]$

$= \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] - [-e^{2}\cdot ( 1 )]$

$| \lim_{b\to\infty} [-e^{4 - b}\cdot ( b - 1 )] \rightarrow 0| siehe Hinweis$

$= 0 - [-e^{2}\cdot ( 1 )]$

$= \, [e^{2}]$

Der Flaecheninhalt, der sich nach rechts ins Unendliche erstreckt, betraegt e².

@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
 <math>v ^{'} ( x ) = -e^{a + 2 - x}</math>
-<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a ) e^{a + 2 - x}</math> <br />
+<math> \int_{a}^{b} f_a ( x )\,dx  = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}</math> <br />
 :::                   <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) ]^{b}_{a} - \int_{a}^{b} 1 \cdot (-e^{a + 2 - x})\,dx</math>
 :::                   <math>=[( x - a )\cdot (-e^{a + 2 - x}) - e^{a + 2 - x}]^{b}_{a}</math>
-:::                   <math>=[-e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 )]^{b}_{a}</math>
+:::                   <math>=[-e^{a + 2 - x}\cdot ( x - a + 1 )]^{b}_{a}</math>
 ::::                  <math>\Rightarrow  F_a( x ) = -e^{a + 2 - x} ( x - a + 1 ) + c</math><br />
-'''Der Graph von''' <math>F_a ( x )</math>
+'''Der Graph von''' <math>F_a \,( x )</math>
 <ggb_applet width="767" height="459"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />

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