Lösungsübersicht

Funktion

Stammfunktion:     $F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x})$ 

Funktion:     $y = f_a (x) = ( x - a )\cdot e^{a + 2 - x}$ 

1. Ableitung:      $f^{'}_a (x) = ( x - a - 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x})$ 

2. Ableitung:      $f^{''}_a (x) = ( x - a - 2 )\cdot e^{a + 2 - x}$ 

3. Ableitung:     $f^{'''}_a (x) = ( x - a - 3 )\cdot (-e^{a + 2 - x})$ 

Teilaufgabe a)

Nullstelle:                                  $NS  \;$       $( \;a\;/ \;0 \;)\;$

Schnittpunkt mit der y-Achse:                $SP_{y-Achse} \;$ $( \;0 \;/\; -a \cdot e^{a+2}\;)\;$

Extrempunkt:                                 $Max  \;$      $(\; 1 + a \;/\; e\; )\;$

Wendepunkt:                                  $WP \;$       $(\; a + 2 \;/ \;2 \;)\;$

Funktionsgleichung aller Extrempunkte:       $h (x) = e\;$

Teilaufgabe b)

1. Für $-\infty < x < a$ ist der GFa streng monoton fallend.

   Für $a < x < \infty$ ist der GFa streng monoton steigend.

   Für $x = a\;$ besitzt GFa eine Tiefpunkt.


2. Stammfunktion:     $F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot (-e^{a + 2 - x})$ 

3. Flächeninhalt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f2:     $A = e^{2}\;$

Teilaufgabe c)

1.  $a = 2008\;$

2.  $B_1(1 + \sqrt{3} / 2,601)$

    $B_2(1 - \sqrt{3} / -310,164)$

Teilaufgabe d)

1. $R_a \;\;(\; a\; /\; 0\; )\;$

   $H_a \;\;(\; a + 1 \;/\; e\; )\;$

   $W_a \;\;(\; a + 2 \;/\; 2 \;)\;$

   Da sich die y-Werte dieser Punkte nicht verändern, haben diese immer denselben Abstand 
   zueinander. Deshalb sind alle Dreiecke, die durch diese Punkte festgelegt sind, kongruent.

2. $| 1 - e |  \approx 1,718$