Lösung zur Teilaufgabe a

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LÖSUNG VON TEILAUFGABE a)

y = fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x mit x\in R ; a\in R

1.

a) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Nullstellen

fa (x) = 0
( x - a ) ea + 2 - x = 0

Da die e-Funktion ( in diesem Fall ea + 2 - x) immer streng monoton steigend und immer positiv ist, gibt es nur für ( x - a ) = 0 Nullstellen.

( x - a ) = 0
x - a = 0 / +a
x = a

--> NS ( a / 0 )

Für a < 0 NS ( <0 / 0 )
Für a > 0 NS ( >0 / 0 )
Für a = 0 NS ( 0 / 0 )

Schnittpunkt mit der y-Achse

( x - a ) ea + 2 - x = y mit x = 0 folgt
( 0 - a ) ea + 2 - 0 = y
-a ea + 2 = y

-->SPy-Achse (0 / -a ea + 2 )


Für a < 0 SPy-Achse( 0 / >0 )
Für a > 0 SPy-Achse( 0 / <0 )
Für a = 0 SPy-Achse( 0 / 0 )

b) lokal Extrempunkte

Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann braucht man ihre erste Ableitung

y = fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x

Um die erste Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden [Hilfe zur Produktregel]

                          fa' (x) = ( x - a ) ea + 2 - x ( -1 ) + 1 ea + 2 - x
= ea + 2 - x (( x - a ) (-1) + 1 )
= ea + 2 - x ( -x + a + 1 )
= ea + 2 - x ( 1 + a - x )


Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle. Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum^Hochpunkt und/oder Minimum ^ Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.


                          fa' (x) = 0     /ea + 2 - x > 0 
( 1 + a - x ) = 0 /- 1 - a
-x = -1 + a /* (-1)
x = 1 + a Möglicher Extrempunkt bei x = 1 + a
               y = fa ( 1 + a ) = ( 1 + a - a ) ea + 2 - ( 1 + a )  
                                           =  1 ea + 2 - 1 - a  
                                           = e^1  = e
      Möglicher Extrempunkt  ( 1 + a / e )


Überprüfung des Extrempunkts

1. Möglichkeit

H-Methode
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion

fa' ( 1 + a + h ) = ( 1 + a -( 1 + a + h ) ea + 2 - ( 1 + a + h) 
                                        = ( 1 + a - 1 - a - h ) ea + 2 - 1 - a - h 
                                        = e1 - h ( -h )
                                        = -h e1 - h

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0}

fa' ( 1 + a + h ) < 0

--> An der Stelle fa' ( 1 + a + h ) fällt der Graph


fa' ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) ea + 2 - ( 1 + a - h)

                                        = ( 1 + a - 1 - a + h ) ea + 2 - 1 - a + h 
                                        = e1 + h ( +h )
                                        = +h e1 + h

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0}

fa' ( 1 + a - h ) > 0

--> An der Stelle fa' ( 1 + a - h ) steigt der Graph


--> VZW bei x = 1 + a --> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum

zur Verdeutlichung




Monotonieverhalten
x<1+a x=1+a x>1+a
ea + 2 - x + +
( 1 + a - x ) + -
fa' ( x ) + -


--> Maximum ( 1 + a / e )


2. Möglichkeit

Überprüfung durch die zweite Ableitung [Hilfe zur Produktregel]


y = fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x

   fa' (x) = ea + 2 - x  ( 1 + a - x )
   fa (x) = ea + 2 - x  ( 1 + a - x ) ( -1 ) +  ( -1 ) ea + 2 - x 
= -ea + 2 - x ( 1 + a - x + 1 )
= ea + 2 - x ( x - a - 2 )

Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.

fa ( 1 + a ) = ea + 2 - ( 1 + a )  ( ( 1 + a ) - a - 2 )
                                     = ea + 2 - 1 - a  ( -1 )
                                     = e^1 ( -1 ) = <0
         -->  Max ( 1 + a / e )


b) Wendepunkte

Zweite Ableitung siehe: Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 )

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung

Mögl. Wendepunkte tretten für fa (x) = 0 auf.

fa (x) = 0

ea + 2 - x ( x - a - 2 ) = 0 / ea + 2 - x > 0

 -->    ( x - a - 2 ) = 0                      / + 2 ; + a
         x = a + 2

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2

fa ( a + 2 ) = ( a + 2 - a ) ea + 2 - (a + 2 )

                       = 2 ea + 2 - a - 2 )
                       = 2 e^0
                       = 2
   mög. WP ( a + 2 / 2 )