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| − | ===Das Cent-System===
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| − | <br><br>Auf dieser wichtigen Erkenntnis (Logarithmus) basiert das Cent(C)-System. „Das C. - Maß wurde 1885 von A.J. Ellis entwickelt, um Tondistanzen unabhängig von den ihnen zugrunde liegenden Schwingungszahlen durch eine lineare Skala darstellen zu können“<ref>Riemann S.150</ref><br>
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| − | 1 Cent (C) bezeichnet den hundertsten Teil eines (temperierten) Halbtons. Die Oktave, die aus 12 Halbtönen besteht ist 1200 C groß. Sollen zwei Intervalle addiert oder subtrahiert werden, muss man deren Centszahlen addieren. Die Schwingungsverhältnisse dagegen müssen multiplizieren werden. Daher sind die Cents, wie oben bewiesen, Logarithmen.<br>
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| − | Es gilt: 1 Ok = 1200 C<br>
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| − | Ein Cent hat also den Wert <math>\textstyle \sqrt [1200]{2}</math> (die temperierte Stimmung werde ich später beschreiben. Hier sei nur gesagt das ein Halbton in der temperierten Stimmung den Wert <math>\textstyle \sqrt{2}</math> hat.)<br>
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| − | „Die Centzahl sagt aus, wie oft dieser Wert (man kann ihn auch mit <math>\textstyle 2^\frac {1}{1200}</math> ausdrücken) in einer Reihenmultiplikation als Faktor steht. Der Centwert ist somit ein logarithmischer Wert auf der Basis <math>\textstyle 2^\frac {1}{1200}</math>.“<ref>Gmeinder S.97</ref><br>
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| − | Deshalb müsste man, um auf diesen Wert zu kommen, den 10er Logarithmus des Frequenzverhältnisses durch log <math>\textstyle 2^\frac {1}{1200}</math> teilen, also <math>\textstyle \frac {log \ \frac {f_1}{f_2}} {log \ 2^\frac {1}{1200}}</math> . Aus <math> \textstyle log \ 2^\frac {1}{1200}</math> wird nach der 3. Logarithmusregel (s.o.) <math>\textstyle \frac {1}{1200} \cdot log;</math> <br><br>
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| − | Daher gilt für die beiden Töne A und B: <br><br>
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| − | <math>C = 1200 \cdot \frac {log \ \frac {A}{B}}{log \ 2};</math> <br><br>
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| − | Zum Beispiel:<br>
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| − | Nun wählen wir für A und B beliebig 2 Töne z.b. A = 220 Hertz und B = 110 Hertz und berechnen das Intervall i der beiden Töne. i=<math>\textstyle \frac {A}{B}</math> = <math> \textstyle \frac {330 Hertz}{220 Hertz}</math> = 1,5.<br><br>
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| − | Um den Centwert zu erhalten setzen wir i in die oben genannte Formel ein.<br><br>
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| − | <math>C = 1200 \cdot \frac {log \ 1{,}5}{log \ 2} = 701{,}96 \approx 702 Hertz</math><br><br>
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| − | Die Vorteile der Cent-Rechnung sind, dass dem logarithmischen Tonempfinden des Ohrs entspricht und das für Berechnung von Stimmungen und Intonationen eine allgemein gültige Einheit hat.<br>
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| − | Sie hat allerdings auch den Nachteil das nun „einfache Zahlen“ die vorher plausibel erscheinenden Proportionen ersetzen.<br><br>
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| − | Ein praktisches Applet zum Umrechnen von Frequenzen in Cent findet sich [http://www.sengpielaudio.com/Rechner-centfrequenz.htm hier]. <br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Quint-System| ''' weiter zur pythagoreischen Stimmung''']]<br><br>
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| − | [[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit|zurück zur Übersichtsseite]]
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| − | <references />
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