Benutzer:Gebauer David: Unterschied zwischen den Versionen

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Infinitesimalrechnung
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1. Gegeben ist die Schar der in <math>\mathbb{R} </math> definierten Funktionen <math>f_k : x\rightarrow \left( k^2x+k\right) e^{-kx}</math> mit <math>k \in \mathbb{R}^+  </math>. Der Graph von <math>f_k</math> wird mit <math>G_k</math> bezeichnet.
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a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von <math>G_k</math> mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie das Verhalten von <math>f_k</math> für <math>x\rightarrow +\infty </math> und <math>x\rightarrow -\infty</math>.
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b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von <math>G_k</math>. <math>\lbrack</math>zur Kontrolle: <math>f'_k(x) = -k^3xe^{-kx}\rbrack</math>
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Lösung:
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<math>f'_k(x)=k^2e^{-kx}(-k)=-k^2[(kx+1)e^{-kx}-e^{-kx}]=-k^3xe^{-kx}</math>
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Lösung: c
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<math>f''_k(x)=-k^3\lbrack^{-.kx}+xe^{-kx}(-k)\rbrack=-k^3(1-kx)e^{-kx}</math>

Aktuelle Version vom 2. April 2009, 10:56 Uhr

((Benutzer:Gebauer David/Revolution 1848)) Hausaufgabe vom 23.09.2008


Infinitesimalrechnung

1. Gegeben ist die Schar der in \mathbb{R} definierten Funktionen f_k : x\rightarrow \left( k^2x+k\right) e^{-kx} mit k \in \mathbb{R}^+ . Der Graph von f_k wird mit G_k bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von G_k mit den Koordinatenachsen und untersuchen Sie das Verhalten von f_k für x\rightarrow +\infty und x\rightarrow -\infty.

b) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunktes von G_k. \lbrackzur Kontrolle: f'_k(x) = -k^3xe^{-kx}\rbrack

Lösung: f'_k(x)=k^2e^{-kx}(-k)=-k^2[(kx+1)e^{-kx}-e^{-kx}]=-k^3xe^{-kx}


Lösung: c f''_k(x)=-k^3\lbrack^{-.kx}+xe^{-kx}(-k)\rbrack=-k^3(1-kx)e^{-kx}

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