Abi 2017 Geometrie II Teil B
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Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die von der Zeltspitze ausgehenden Seitenkanten werden durch vier gleich lange Stangen gebildet. Das Zelt ist 6m hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt 5m. Das Zelt wird in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) modellhaft durch eine Pyramide ABCDS mit der Spitze S (2,5|2,5|6) dargestellt. Der Punkt A liegt im Koordinatenursprung, C hat die Koordinaten (5|5|0). Der Punkt B liegt auf der x1-Achse, D auf der x2-Achse. Das Dreieck CDS liegt in der Ebene E : 12x2+5x3=60. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.  a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte B und D an und zeichnen Sie die Pyramide in ein Koordinatensystem ein.
b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene F, in der das Dreieck DAS liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: F : 12x1-5x3=0) c) Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermitteln Sie die Größe dieses Winkels. d) Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von 50cm hat. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt. e) Bestimmen Sie eine Gleichung der Symmetrieachse g des Dreiecks CDS.
 f) Ein Teil der Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck CDS dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge 1,80m zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende 1,40m breite Öffnung in der Zeltwand wird im Modell durch ein Rechteck dargestellt, das symmetrisch zu g liegt. Dabei liegt eine Seite dieses Rechtecks auf der Strecke [CD]. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs.
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