Abi 2016 Analysis II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten: I Breite des Tunnelbodens: b=10m II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h=5m III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6m mindestens 4m hoch. Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion $p(x)\mapsto -0,2x^2+5$ mit Definitionsbereich Dp = [-5, 5] a)Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x) der Graphenpunkte Px(x/p(x)) vom Ursprung des Koordinatensystems. b) Zeigen Sie, dass $d(x)=\sqrt{0,04x^{4}-x^{2}+25}$gilt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte Px , für die d(x) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 2 Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ k : x→5⋅cos(c⋅x), mit c ∈ IR und Definitionsbereich Dk=[-5;5], bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist. a) Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (zur Kontrolle: $c=\frac{\pi}{10}$ Inhalt der Querschnittfläche: $c=\frac{100}{\pi}m^{2}$) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px b)Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px

Aufgabe 3 Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x\mapsto \sqrt{25-x^{2}}$ mit Definitionsbereich Df=[-5;5]. a)Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5 m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: -5 ≤ x ≤ 9 ; -1 ≤ y ≤ 13) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x\mapsto \int_{0}^{x} f (t)\,dt$ mit Definitionsbereich DF=[-5;5]. b)Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5)=\frac{25}{4}\pi$ gilt. Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px c) Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit f von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung $y= -\frac{4}{3}x+12$ modelliert. d)Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f im Punkt R(4/f(4)) parallel zu g verläuft. Zeichnen Sie g und t in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px e)Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand e in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von e. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] 700px