Abi 2017 Analysis I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2017 Analysis I - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Aufgabe 1 Gegeben ist die in IR+ definierte Funktion $h: x \mapsto 3x \cdot (-1 + lnx)$. Abbildung 1 zeigt den Graphen Gh von h im Bereich 0,75 ≤ x ≤ 4. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Ghim Punkt (e | 0 )und berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die x-Achse schneidet. (zur Kontrolle: h'(x)= 3 ⋅ lnx) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von Gh. Geben Sie den Grenzwert von h für x → +∞ an und begründen Sie, dass [-3;+∞] die Wertemenge von h ist. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Geben Sie für die Funktion h und deren Ableitungsfunktion h'jeweils das Verhalten für x → 0 an und zeichnen Sie Gh im Bereich 0 ≤ x ≤ 0,75 in Abbildung 1 ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Die Funtkion $h*:x \mapsto h(x)$ mit Definitionsmenge [1;+∞[ unterscheidet sich von er Funktion h nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu h ist die Funktion h* umkehrbar. d) Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion von h* an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S des Graphen von h* und der Geraden mit der Gleichung y = x . (Teilergebnis: x-Koordinate des Schnittpunkts: e4/3 ) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e)Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von h* unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt S, in Abbildung 1 ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] f) Schraffieren Sie in Abbildung 1 ein Flächenstück, dessen Inhalt A0 dem Wert des Integrals $\int_{e}^{x_{s}} (x-h^{*}(x))\,dx$ entspricht, wobei xs die x-Koordinate von Punkt S ist. Der Graph von h* , der Graph der Umkehrfunktion von h* sowie die beiden Koordinatenachsen schließen im ersten Quadranten ein Flächenstück mit Inhalt A ein. Geben Sie unter Verwendung von A0 einen Term zur Berechnung von A an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2 Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in [0;16] definierten Funktion $V:t \mapsto V(t)$. Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und V(t) das Volumen in Kubikmetern. 350px a) Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens 450m3 beträgt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion V näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein t∈[0;10]dieBeziehung V(t+6)=V(t)-350 gilt.Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für t = 5 diese Beziehung gilt, und begründenSie Ihre Entscheidung. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für 0 ≤ t ≤ 12 modellhaft durch die in IR definierte Funktion $f:t \mapsto 0,4 \cdot (2t^{3}-39t^{2}+180t$ beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die momentane Änderungsrate des Volumens in $\frac{m^{3}}{h}$. d) Begründen Sie, dass die Funktionswerte von g für 0 < t < 7,5 positiv und für 7,5 < t < 12 negativ sind. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals $\int_{a}^{b} g (t)\,dt$ für 0≤a<b≤12 im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn 150m3 Wasser im Becken wa- ren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasser- volumen im Beobachtungszeitraum handelt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]