Abi 2012 Geometrie I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenorm. (mögliches Ergebnis: E=x2+2x3-8=0) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie den Abstand des Punkts R von der Ebene E. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch. Das Rechteck GHKL mit G(2/4/2) hat die Breite $\overline{GL}=1$. Es liegt in der Ebene E, die Punkte H und K liegen auf der Geraden CD. Das Rechteck stellt im Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden. c) Geben Sie die Koordinaten der Punkte L, H und K an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters. (Zur Kontrolle: $\overline{GH}= \sqrt{5}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\vec v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\-1 \end{pmatrix}$ repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt G und schneidet die Seitenwand OPQR im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand OPQR einschließt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte der Strecken [GH] und [LK] verläuft. Die Unterkante des Fensters schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke [GH] und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann. (Teilergebnis: M(2|5|1,5)) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] BILD FEHLT Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Kante liegt im Modell auf der Geraden $k: \vec X = \begin{pmatrix} 0 \\ 5,5 \\ 0,4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} ; \lambda$∈ IR. f) Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 2 die Breite b des Möbelstücks möglichst genau. Bestimmen Sie mithilfe der Gleichung der Geraden k die Tiefe t des Möbelstücks und erläutern Sie Ihr Vorgehen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] g) Überprüfen Sie rechnerisch, ob das Fenster bei seiner Drehung am Möbelstück anstoßen kann. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]