Abi 2012 Geometrie II Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012 Geometrie II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(10/2/0), B (10/8/0), C(10/4/3), R (2/2/0), S(2/9/0) und T(2/4/3) gegeben. Der Körper ABCRST ist ein gerades dreiseitiges Prisma mit der Grundfläche ABC, der Deckfläche RST und rechteckigen Seitenflächen. a) Zeichnen Sie das Prisma in ein kartesisches Koordinatensystem (vgl. Abbildung) ein. Welche besondere Lage im Koordinatensystem hat die Grundfläche ABC? Berechnen Sie das Volumen des Prismas. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b)Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche BSTC liegt, in Normalenorm. (mögliches Ergebnis: E : 3x2+4x3 -24 = 0) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, den die Seitenkanten [CA] und [CB] einschließen. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Die Ebene F enthält die Gerade CT und zerlegt das Prisma in zwei volumengleiche Teilkörper. Wählen Sie einen Punkt P so, dass er gemeinsam mit den Punkten C und T die Ebene F festlegt; begründen Sie Ihre Wahl. Tragen Sie die Schnittfigur von F mit dem Prisma in Ihre Zeichnung ein. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Die Punkte A, B und T legen die Ebene H fest; diese zerlegt das Prisma ebenfalls in zwei Teilkörper. Beschreiben Sie die Form eines der beiden Teilkörper. Begründen Sie, dass die beiden Teilkörper nicht volumengleich sind. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Das Prisma ist das Modell eines Holzkörpers, der auf einer durch die x1x2 -Ebene beschriebenen horizontalen Fläche liegt. Der Punkt M(5/6,5/3) ist der Mittelpunkt einer Kugel, die die Seitenfläche BSTC im Punkt W berührt. f) Berechnen Sie den Radius r der Kugel sowie die Koordinaten von W. (Teilergebnis: r 1,5) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] g) Die Kugel rollt nun den Holzkörper hinab. Im Modell bewegt sich der Kugelmittelpunkt vom Punkt M aus parallel zur Kante [CB] auf einer Geraden g. Geben Sie eine Gleichung von g an und berechnen Sie im Modell die Länge des Wegs, den der Kugelmittelpunkt zurücklegt, bis die Kugel die x1x2-Ebene berührt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]