Abi 2012 Geometrie I Teil B

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012 Analysis II - Teil B Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken

Abbildung 1 zeigt modellhaft ein Dachzimmer in der Form eines geraden Prismas. Der Boden und zwei der Seitenwände liegen in den Koordinatenebenen. Das Rechteck ABCD liegt in einer Ebene E und stellt den geneigten Teil der Deckenfläche dar. BILD FEHLT a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenorm. (mögliches Ergebnis: E=x2+2x3-8=0) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Berechnen Sie den Abstand des Punkts R von der Ebene E. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 1 m, d. h. das Zimmer ist an seiner höchsten Stelle 3 m hoch. Das Rechteck GHKL mit G(2/4/2) hat die Breite $\overline{GL}=1$. Es liegt in der Ebene E, die Punkte H und K liegen auf der Geraden CD. Das Rechteck stellt im Modell ein Dachflächenfenster dar; die Breite des Fensterrahmens soll vernachlässigt werden. c) Geben Sie die Koordinaten der Punkte L, H und K an und bestimmen Sie den Flächeninhalt des Fensters. (Zur Kontrolle: $\overline{GH}= \sqrt{5}$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] d) Durch das Fenster einfallendes Sonnenlicht wird im Zimmer durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\vec v = \begin{pmatrix} -2 \\ -8 \\-1 \end{pmatrix}$ repräsentiert. Eine dieser Geraden verläuft durch den Punkt G und schneidet die Seitenwand OPQR im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S sowie die Größe des Winkels, den diese Gerade mit der Seitenwand OPQR einschließt. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] e) Das Fenster ist drehbar um eine Achse, die im Modell durch die Mittelpunkte der Strecken [GH] und [LK] verläuft. Die Unterkante des Fensters schwenkt dabei in das Zimmer; das Drehgelenk erlaubt eine zum Boden senkrechte Stellung der Fensterfläche. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M der Strecke [GH] und bestätigen Sie rechnerisch, dass das Fenster bei seiner Drehung den Boden nicht berühren kann. (Teilergebnis: M(2|5|1,5)) [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] BILD FEHLT Abbildung 2 zeigt ein quaderförmiges Möbelstück, das 40 cm hoch ist. Es steht mit seiner Rückseite flächenbündig an der Wand unter dem Fenster. Seine vordere Kante liegt im Modell auf der Geraden [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Aufgabe 2 Unter dem Wasserdurchfluss eines Bachs an einer bestimmten Stelle ver- steht man das Volumen des Wassers, das an dieser Stelle in einer bestimmten Zeit vorbeifließt. Die Funktion f beschreibt die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses eines Bachs an einer Messstelle, nachdem zum Zeitpunkt t=0 eine bachaufwärts gelegene Schleuse geöffnet wurde. Abbildung 3 zeigt den Graphen Gf von f. BILD fehlt a) Entnehmen Sie Abbildung 3 im Bereich t > 1 Näherungswerte für die Koordinaten des Hochpunkts sowie für die t-Koordinaten der beiden Wendepunkte von Gf und geben Sie unter Berücksichtigung dieser Näherungswerte die jeweilige Bedeutung der genannten Punkte im Sachzusammenhang an. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] b) Bestimmen Sie $\int_{1}^{4} f (t)\,dt$näherungsweise mithilfe von Abbildung 3. Deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] c) Bestimmen Sie mithilfe von Gf für t=4 und t=3 jeweils einen Näherungswert für die mittlere Änderungsrate von f im Zeitintervall [2;t]. Veranschaulichen Sie ihr Vorgehen in Abbildung 3 durch geeignete Steigungsdreiecke. Welche Bedeutung hat der Grenzwert der mittleren Änderungsraten für t → 2 im Sachzusammenhang [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]