BMT 10 2016

Test und Lösungshinweise zum Download

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Aufgabe 1

Vereinfachen Sie so weit wie möglich. $a^6\cdot\left(-2a\right)^3$

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xyz

Aufgabe 2

Simon möchte seinen Gartenteich mit einer Brücke überspannen, deren Auflagepunkte 8m voneinander entfernt sind. Dazu fertigt er eine Graphik an, die den Brückenbogen vereinfacht darstellt.

400px

Der Brückenbogen wird durch eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit a IR\{0} beschrieben.

I  y = a·(x² - 8)     II  y = a·x·(x - 4)     III   y = a·x·(x - 8)

a)

Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II zur Beschreibung des Brückenbogens infrage kommt.

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Eine Gleichung der Form I kommt nicht infrage, da sie zu einer Parabel mit dem Scheitel bei x = 0 gehört. Der Scheitel der abgebildeten Parabel liegt aber bei x = 4.

Eine Gleichung der Form II kommt nicht infrage, da sie zu einer Parabel mit den Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 4 gehört. Die abgebildete Parabel hat keine Nullstelle bei x = 4.

b)

Der Brückenbogen wird also durch eine Funktionsgleichung der Form III beschrieben. Berechnen Sie mithilfe der Graphik den passenden Wert von a.

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Koordinaten des Scheitelpunkts in die Gleichung einsetzen:

1 = a · 4 · (4 - 8)

1 = a · (-16)

a = - $\frac{1}{16}$

c)

Mit der Gleichung der Form III und dem passenden Wert für a berechnet Simon den y-Wert für x = 6. Beschreiben Sie die Bedeutung dieses y-Werts im Sachzusammenhang.

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Der y-Wert steht für die Höhe der Brücke in 6m Entfernung vom linken Auflagepunkt (bzw. in 2m Entfernung vom rechten Auflagepunkt).

Aufgabe 3

Ein Laplace-Würfel, der mit den Zahlen 1 bis 6 beschriftet ist, wird zweimal nacheinander geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die Augensumme 10 erhält.

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P("Die Augensumme ist 10") = P(46; 55; 64)= $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot 3$ = $\frac{1}{12}$

Aufgabe 4

220px

Die Abbildung zeigt eine Pyramide der Höhe h. Die quadratische Grundfläche hat die Seitenlänge a, jedes Seitendreieck die Höhe m.

a)

Ergänzen Sie die Gleichung h = ______ durch einen Term, mit dem h aus a und m berechnet werden kann.

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m ist die Hypotenuse, h und $\frac{a}{2}$ sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Es gilt der Satz des Pythagoras.

$(\frac{a}{2})^2 + h^2 = m^2$

Auflösen nach h ergibt:

$h = \sqrt{m^2 - (\frac{a}{2})^2}$

Aufgabe 4b Mit welchen der folgenden Gleichungen lässt sich der Neigungswinkel $\varphi$ einer Seitenfläche gegen die Grundfläche berechnen? Kreuzen Sie an. ($tan\varphi = \frac{2h}{a}$) (!$tan\varphi = \frac{a}{2h}$) (!$sin\varphi = \frac{a}{2m}$) ($sin\varphi = \frac{h}{m}$) (!$sin\varphi = \frac{m}{2h}$)

Aufgabe 5

Auf einem Spielfeld, das 100 m lang und 75 m breit ist, findet ein Fußballspiel statt. Ein Spieler passt den Ball zu einem Mitspieler; dabei ist der Ball zwei Sekunden unterwegs. Schätzen Sie den Anteil der Spielfeldfläche ab, den die zehn Feldspieler der gegnerischen Mannschaft in dieser Zeit höchstens abdecken können. Gehen Sie dazu davon aus, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit der Spieler, während der Ball unterwegs ist, 5 $\frac{m}{s}$ beträgt. Erläutern Sie Ihr Vorgehen.

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Weg pro Spieler in 2 Sekunden: 5$\frac{m}{s}$ · 2s = 10m

höchstens abgedeckte Fläche pro Feldpieler (Kreis mit Radius 10m): (10m)²$\pi$ = 100$\pi$ m²

von zehn Feldspielern höchstens abgedeckte Fläche: 1000$\pi$ m²

Spielfeldfläche: 100m · 75m = 7500m²

Anteil der Spielfeldfläche, die von zehn Feldspielern in 2 Sekunden höchstens abgedeckt werden kann:

$\frac{1000\pi m^2}{7000 m^2} \approx \frac{3000}{7500} = \frac {2}{5} = 40%$

Aufgabe 6

Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichung ( ).

$\frac{1}{4x-5}-\frac{1}{6x}=0$

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$\frac{1}{4x-5}-\frac{1}{6x}=0$

6x - (4x - 5) = 0

6x - 4x + 5 = 0

2x + 5 = 0

x = -2,5

Aufgabe 7

Im Dreieck ABC sind Ma , Mb und Mc die Mittelpunkte der Seiten (vgl. Abbildung). Die Verbindungsstrecken dieser Mittelpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten schneiden sich im Punkt S.

220px

a)

Die Dreiecke AMcS und McBS haben den gleichen Flächeninhalt, da sie in der Länge einer Seite und der zugehörigen Höhe übereinstimmen. Tragen Sie diese Strecken deutlich sichtbar in die Abbildung ein.

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300px

b)

Analog zu Aufgabe 7a kann man zeigen, dass zwei weitere Paare von Dreiecken mit gemeinsamem Eckpunkt S jeweils den gleichen Flächeninhalt haben. Die übereinstimmenden Inhalte sind mit X, Y und Z bezeichnet (vgl. Abbildung). Begründen Sie, dass die Aussagen 2Z + X = 2Y + X sowie 2Z + Y = 2X + Y wahr sind,und folgern Sie daraus, dass X = Y = Z gilt.

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Die Dreiecke AM_cC und M_cBC sind inhaltsgleich, da sie in der Länge einer Seite und der dazugehörigen Höhe übereinstimmen. Es gilt daher: 2Z + X = 2Y + X

Die Dreiecke AM_aC und ABM_a sind inhaltsgleich, da sie in der Länge einer Seite und der dazugehörigen Höhe übereinstimmen. Es gilt daher: 2Z + Y = 2X + Y

Aus 2Z + X = 2Y + X folgt Z = Y, aus 2Z + Y = 2X + Y folgt Z = X. Es gilt also: X = Y = Z.