Abiturvorbereitung mit hilfreichen Links

Abituraufgabe 2012 - Infinitesimalrechnung
Gegeben ist die in R definierte Funktion g(x) = x$\cdot$e^-2x.

Teilaufgabe Teil 1 2a (5 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine waagrechte Tangente hat.
Teilaufgabe Teil 1 2b (2 BE)
Geben Sie das Verhalten von g für  x $\rightarrow$ - $\infty$ und x $\rightarrow$ + $\infty$ an.

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Teilaufgabe 1 2a
1. Ableitung bilden: g(x) = x$\cdot$e^-2x
Produktregel:
g'(x) = 1 $\cdot$ e^-2x + x$\cdot$(-2)$\cdot$e^-2x ;
g'(x) = e^-2x $\cdot$(1+(-2x);
g'(x) = e^-2x $\cdot$ (1-2x);

2. Nullstellen der Ableitung bestimmen (Extremwerte der Funktion g(x))
e^-2x ist immer größer 0. Daher:
1-2x = 0; 2x = 1; x = 0,5;

3. Koordinaten des Punktes der waagrechten Tangente bestimmen.
g(0,5) = 0,5 $\cdot$ e^{-2 $\cdot$ 0,5};
g(0,5)= $\frac 1 {2e}$

P(0,5/ $\frac 1 {2e}$);

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Teilaufgabe 1 2b
Grenzwerte bilden: g(x) = x$\cdot$e^-2x
- Grenzwert x $\rightarrow$ - $\infty$: lim g(x)= - $\infty$;
- Grenzwert x $\rightarrow$ + $\infty$: lim g(x)= 0;