Benutzer:Renner Lisa

"In der Welt geschieht nichts, worin man nicht den Sinn
eines bestimmten Maximums oder Minimums erkennen könnte." -Leonhard Euler

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Leonhard Euler

Wissenswertes

Die Euler'sche Zahl e als Basis der natürlichen Exponentialfunktion

e = 2,718281728...
Die Eulersche Zahl e ist irrational.
Unter der Zahl e versteht man den Grenzwert:
e=lim(1+1/n)ⁿ, dabei geht n gegen unendlich. Dieser Grenzwert ist vom
Herleiten der Ableitung der Exponentialfunktion bekannt und wird deshalb als Euler'sche Zahl e bezeichnet.

Merkmale der natürlichen Exponentialfunktion f(x)=e^x

• Die natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x hat die Ableitungsfunktion f'(x)=e^x .
  
• Eine Stammfunktion ist F(x)=e^x + c . (Stammfunktion: F'(x)=f(x))
• Der Graph geht durch den Punkt (0/1).
  
• Der Graph besitzt keine Nullstellen, da e^x > 0 ist. Dies gilt für alle x E R.
  
• W= R⁺
  
• Monotonie: streng monoton steigend; Extremwerte: keine Extremwerte.
  
• Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion.
  

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Einstiegsaufgaben Übungen zur natürlichen Exponentialfunktion 1. Einstiegsaufgaben Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der vorgegebenen Funktion f und berechnen Sie die Steigung des Graphen f an der Stelle x=1. f(x)=5ex + x Lösung: -Ableitung: f'(x)=5ex + 1; -Steigung: f'(1)=5e+1; Abituraufgaben mit Lösungen zur Vorbereitung weiteres Lernmaterial zur Vorbereitung Bei den Aufgaben zur Vereinfachung eines Termes sind oft die Potenzgesetze notwendig: WIEDERHOLUNG: -Bemerkung: a,b E |R+ \ {1} und x,y E |R 1. ax * by = ax+y 2. ax/ay = ax-y 3. ax * bx = (a*b)x 4. ax/bx = (a/b)x 5. (ax)y = ax*y

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