Theoretische Überlegungen

Theoretische Fragen zur Wasserstandsaufgabe

Warum liegt kein Punkt der Funktionsgraphen von f_a im Bereich $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse und inwiefern ist dies mit dem zugrunde liegenden Sachverhalt vereinbar.

Der Bereich unter der t - Achse, in welchem $t \ge 0$ ist, heißt IV. Quadrant. Für die Funktion $f(t) = \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2 t$ ist in diesem Quadranten kein Punkt definiert. Begründe dies. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Es liegt kein Punkt im Intervall $t \ge 0$ unterhalb der t - Achse, da es hier um eine Funktion mit realem Bezug geht. Läge ein Punkt bei der gegebenen Aufgabenstellung im vierten Quadranten, würde dies bedeuten, dass eine negative Durchflussgeschwindigkeit vorliegt und ein negatives Volumen an Wasser im Fluss vorhanden wäre. Aus diesem Grund ist kein Punkt der Funktionsgraphen fa im vierten Quadranten definiert. Dies wäre ansonsten irreal.

Es soll nun das Verhalten von f_a für $t \rightarrow + \infty$ angegeben werden und begründet werden, ob die Funktionen auch nach den ersten acht Monaten noch eine sinnvolle Beschreibung der Durchflussgeschwindigkeit liefern.

Um das Verhalten eines Graphen, welcher gegen $+ \infty$ geht, zu bestimmen, wird statt f (t) $\lim_{t\to\infty} f (t)$ geschrieben.

Um nun bei einer Potenzfunktion den Grenzwert zu ermitteln,

• klammert man die höchste Potenz aus,
• erhält ein Produkt und kann somit leichter als bei einer Summe, den Grenzwert bestimmen.

Bestimme das Verhalten von f_a für $t \rightarrow \infty$.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\lim_{t\to\infty} f (t) = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{4} t^3 - a t^2 + a^2$

$\lim_{t\to\infty} t^3 \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{t} + \frac{a^2}{t^2} \right)$

$t^3 \rightarrow + \infty$ Die Klammer geht gegen $\frac{1}{4} \Rightarrow + \infty$

Für$t\to\infty$geht die Funktion gegen + $\infty$

Liefern die Funktionen fa nun auch nach den ersten acht Monaten noch sinnvolle Ergebnisse. Begründe dies durch den eben berechneten Aufgabe. [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] Nach den ersten 8 Monaten verhält sich die Funktion so, dass sie immer stärker ansteigt. (blaue Parabelfunktion) Wenn man nun anhand der Funktion vorhersagen soll, wieviel Wasser in zwei Jahren ( also 24 Monaten ) durch den Fluss fließt, ergibt sich ein Wasserstandswert, der mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit nicht erreicht werden wird. Je größer t wird, desto unwahrscheinlicher wird die Durchflussgeschwindigkeit, die sich errechnen lässt. Hier wird das Beispiel für t = 24 näher erläutert.

Funktion f (t), Ableitung f '(t)

Hier geht's zur Aufgabe: Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten

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