Wendepunkt

Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

Es soll in Abhängigkeit von a bestimmt werden, wann die Druchflussgeschwindigkeit besonders stark absinkt. Dieser Wert soll zum Zeitpunkt t berechnet werden.

Hier ist der Punkt gesucht, an dem die Durchflussgeschwindigkeit am stärksten absinkt. Dazu schaut man sich die erste Ableitung näher an, da diese die Steigung eines Graphen Gf zeigt. Da es sich bei der ersten Ableitung um eine nach oben geöffnete Parabel handelt, ist das Minimum des Graphen gleichzeitig der Punkt, an dem die Steigung besonders stark abfällt. Es ist also das Minimum der ersten Ableitung gesucht. $\Rightarrow f ''(t) = 0$ An dem erhaltenem Punkt besitzt der Graph Gf den größten negativen Steigungswert. Dieser Punkt ist ein möglicher Wendepunkt. An ihm ändert der Graph sein Krümmungsverhalten. Errechne die Koordinaten des möglichen Wendepunktes und überprüfe, ob es einer ist. Merke: Es handelt sich nur um einen Wendepunkt, wenn folgende Kriterien erfüllt sind. $\Rightarrow f''(t_0) = 0$ $\Rightarrow f'''(t_0) \neq 0$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden] $\Rightarrow f ''(t)= 0 \rightarrow \frac{3}{2} t - 2a = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}a$ $f ( \frac{4}{3}a ) = \frac{4}{27}a^3 \Rightarrow WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$ Bei dem Punkt handelt es sich um einen Wendepunkt, da die dritte Ableitung $f'''(t) = \frac{3}{2} \Rightarrow f'''( \frac{4}{3}a ) = \frac{3}{2}$ ungleich Null ist. Der Punkt, an welchem die Funktion besonders stark abfällt ist zugleich der Wendepunkt $WP \left( \frac{4}{3}a / \frac{4}{27}a^3 \right)$

Die blaue Funktion zeigt die Ableitung f '(t) der schwarzen Funktion f (t) für a = 3. Berechnung der Steigung im Wendepunkt anzeigen Berechnung der Steigung im Wendepunkt verstecken Um die Steigung zu bestimmen, welche der Graph im Wendepunkt besitzt, wird der t - Wert zusätzlich in die erste Ableitung $f_a '$ eingesetzt. Der Wert, den man erhält ist die Steigung im Wendepunkt. Nun kann man noch die Wendetangente durch den Punkt aufstellen (siehe rote Linearfunktion im Applet). Diese lineare Funktion besitzt im Wendepunkt die Steigung $f' (\frac{4}{3}a) = - \frac{a^2}{3}$

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